1:132人目の素数さん:2006/03/27(月) 16:44:16
過去数学板では一つの問題で数百レスも稼ぐような問題が結構ありました。
その殆どが確率の問題。それらを記念に集めてみよう。
確率


2: 132人目の素数さん:2006/03/27(月) 16:46:57
1つ目。
1 名前:番組の途中ですが名無しです 投稿日:04/03/28 21:17 ID:k+MApueJ
ジョーカーを除いたトランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し、
表を見ないで箱の中にしまった。
そして、残りのカードをよく切ってから3枚抜き出したところ、
3枚ともダイアであった。
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。

答えが1/4ってのは納得出来ない!
10/49だろ!!



22:
132人目の素数さん:2006/03/32(土) 07:54:28
>>2
は普通の感覚で1/4ってわかるだろ。
1枚のカードを抜き出して箱の中にしまった時点ではまだジョーカー以外の
トランプが残っているんだから。

その時点では普通に1/4

その後の記述は意味なし



30:
ちけ ◆chikeSPoz6 :2006/04/04(火) 14:09:21
>>22
ジョーカーを除いたトランプ52枚の中から1枚のカードを抜き出し、
表を見ないで箱の中にしまった。
そして、残りのカードをよく切ってから13枚抜き出したところ、
13枚ともダイアであった。
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。



489:
132人目の素数さん:2007/08/24(金) 06:40:49
>>2
問題文をどう解釈するかで答えが変わってきそう。

「一枚カードを選択した後、山から三枚引いたら、”たまたま”三枚ともダイヤでした。
この時、この三枚は最初の一枚の選択になんらかの影響を与えるでしょうか?」

この読み方なら、後から引いた三枚はどのような組み合わせでも、
その組み合わせに意味はないので
結局最初に選択した時点での確率のみが問題とされる。
よって、一枚目がダイヤで『ある』確率は1/4
(これは一枚目を後から『めくってみようがみまいが』その確率は変わらない)

一方、
「後から三枚引く時、その結果はさまざまになるけれど、
その引いた三枚が全てダイヤだった時の結果のみを抜き出し、
この結果が発生した状況において一枚目がダイヤで『あった』確率を求めよ。」

こう読むならば、一枚目がダイヤで『あった』確率は10/49
(これは最終的には一枚目をめくって答えを『知らなければならない』)

って考えたんだけど、どうでしょう。



493:
132人目の素数さん:2007/08/24(金) 07:01:17
>>489
簡潔に書き直してみた。

「このとき」という言葉の示す事象全体がどこまでを含むと
解釈するかで確率が変わってくるってことで良いかな。

「一枚引いて、その後三枚引いた」という事象全てを含む → 1/4
その内、「一枚引いて、その後三枚引いたらその三枚は全てダイヤだった」という
事象に限定する → 10/49



494:
132人目の素数さん:2007/08/24(金) 07:06:11
>>493
やっぱそれ、前者の解釈はありえんよ



603:
良くわかる解説:2007/08/24(金) 10:28:27
例えば
ジョーカーを除いたトランプ52枚の中から
1枚のカードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった。
①そして、残りのカードから12枚のダイヤを【選んで】抜き出した。
②そして、残りのカードをよく切ってから【ランダムで】12枚抜き出したところ、
12枚ともダイアであった。
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。

①の問題である場合 (モンティホールの問題)
 箱の中のカードがダイヤである確率は1/4
 残りのカードから引くならその確率は1/40

②の問題である場合 (>>2の問題)
 どちらから引いても1/40

よって答えは 10/49



629:
132人目の素数さん:2007/08/24(金) 13:18:07
>>603
俺も10/49だと思うんだけど、スレでは意見がまっぷたつ
早稲田の問題にでて答えが1/4だったって言う人もいた



583: 132人目の素数さん:2007/08/24(金) 09:58:40
これ早稲田の問題だっけ?
たしか答えは1/4だったはず



596:
132人目の素数さん:2007/08/24(金) 10:13:55
>>583
それを見て安心した。できれば学部や年度も教えてもらえるとありがたい。
1/4という答えに納得できない人は後で赤本や青本でも見ればいいんじゃないか。



597:
10/49派:2007/08/24(金) 10:15:13
>>596
まじか。
自分で実験すればすぐ分かるのに。
計8枚、後から1枚でやってみれって。



598:
10/49派:2007/08/24(金) 10:17:36
>>597 
早稲田なら間違った問題を堂々と出してても不思議じゃない



601:
10/49派:2007/08/24(金) 10:20:35
>>598
いや、予備校の解説が間違ってると最悪



604:
ふつつかながら素数じゃなくて:2007/08/24(金) 10:32:51
>>601
説明がわかりにくいのかも。
1/4と思うのは、最初にその条件でカードを引いたのだから、
後で何をしても確率が変わるわけがないと思う。

しかし、少なくとも、数学に理解があるなら、
後から見た情報で、最初に引いたカードの確率を計算し直すぐらいのことはするべきだと。
とりあえずこれに納得したら、最初にダイヤがはずされているかどうかによって、
そのあと、三回連続でダイヤが出る確率が変化するだろうと簡単に理解できるはず。



592:
510 1/4派あらため10/49派:2007/08/24(金) 10:08:17
問題文が

残りのカードから3枚をダイア選んでひき抜いたのなら 
 箱の中のカードは 1/4のまま

残りのカードからランダムに3枚引いてダイアが出たのなら 
 箱の中のカードは 10/49だね



594:
10/49派:2007/08/24(金) 10:10:37
>>592
うんうん。
だから実験すると大変なんだよね。
ランダムでダイヤ出るまで待たなきゃいけないw



595:
10/49派:2007/08/24(金) 10:12:23
>>592 
3枚ランダムに抜いたときダイア以外の柄が混ざることもありうる、そして
ダイア以外を引いたらモウ一回箱の中の一枚を取り出し52枚全部シャッフルし
て最初の一枚を選ぶとこからはじめないといけないってことがわかってないやつ多すぎ



606:
132人目の素数さん:2007/08/24(金) 10:39:08
私は文学部wだけど、10/49だと思いまつ。

この問題の引っかけは、「箱にしまった」という表現にあると思う。
箱にしまって、そのあと三枚を引くといっても、マークがわからない状態では、引く順番は意味がないかと。
箱に入れた一枚とあとで選んだ三枚、計4枚をすべて裏返しにしてマークが見えないと仮定し、
箱に入れた一枚を(1)、その後選んだ3枚をそれぞれに(2)~(4)と番号を振る↓のようになります。

(1)?(2)?(3)?(4)?

この状態でどれか一枚を裏返したとき、
番号に拘わらずどのカードであろうが、◆である確率は1/4になります。

つまり、52枚のカードをランダムに一列に並べ、
番号を振ったに過ぎず、「選んだ」とは言えないと思います。

(2)~(4)まで裏返した時点、つまり設問の状態は

(1)?(2)◆(3)◆(4)◆

となりますよね。ここで(1が)最初に箱に入れたという行為は(1)という記号を
割り振っただけなんで何の意味もないと思います。

一番大事なのは裏返した順番じゃないでしょうか?というわけで、裏返した順番に並べ替えると、

(2)◆(3)◆(4)◆(1)?

となりますよね。(4)まで裏返した時点で、残りのカードは49枚。
その中に◆は10枚あるので、(1)が◆である確率は10/49。

「箱にしまった」といっても実際には何の操作もしてなくて、
実際にそのカードを選ぶのは4番目になるというのが引っかけだと

思うのですが、どうですかね?



608:
10/49派:2007/08/24(金) 10:42:03
>>606
ああ、でもあなたの解説はとても分かりやすいよ。

この問題、分かるとすっきりしていいと思うんだけどなぁ。



709: 132人目の素数さん:2007/08/25(土) 03:56:21
>>2の答え10/49
10/49派による解答・解説集
http://d.hatena.ne.jp/daiya591/00000002



3:
132人目の素数さん:2006/03/27(月) 16:48:12
2つ目。

1 名前:1 投稿日:02/12/22(日) 16:05
3人の囚人A、B、Cの内、2人までが処刑され、
1人は釈放されることになっている。

Aは看守に尋ねた。
「B、Cの内、少なくとも1人は処刑されるわけだから、
どちらが処刑されるか教えてくれないか?」

すると看守はこう答えた。
「Bは処刑されるよ。」

Aは少しホッとした。
自分が処刑される確率が2/3≒66.6%から1/2=50%に
減ったと思ったからだ。

看守はウソをつかないものとして、
本当にAが処刑される確率は減ったのだろうか?



802:
132人目の素数さん:2008/01/06(日) 21:37:15
>>3
考えられる可能性は以下の三つ。
・ABが処刑
・ACが処刑
・BCが処刑

看守が「Bは処刑される」と言ったので、残りは
・ABが処刑
・BCが処刑
の2つ。よって2/3で変わらず



4:
132人目の素数さん:2006/03/27(月) 16:52:30
3つ目。

ドアの向こうの賞品
アメリカのクイズ番組で実際にあったコーナーです。
最後に勝ち残った人が 3 枚のドアから1枚だけ選びます。
どれか 1 枚の後ろに賞品があって、当たればもらえるということです。

番組の司会者はどのドアの向こうに賞品があるか知っています。
参加者が選んだところで、司会者が残りの 2 枚のうちはずれを 1 枚開けて、
「良かったらドアを変えてもいいですよ」と言います。

さて、ここで参加者は自分の選んだドアを開けるべきでしょうか、
それとも変えるべきでしょうか?
あるいは変えても、そのままでも関係ないのでしょうか?

はずれの 1 枚が開かれたところで、残りは 2 枚。
それぞれが当たりの確率は同じでしょうか?



9:
132人目の素数さん:2006/03/28(火) 20:39:26
>>4
て確か、アメリカ中から答えが間違っていると抗議が殺到した問題ですよね。



344:
132人目の素数さん:2006/10/23(月) 01:00:19
>>4の問題のわかりやすいサイトとかありますか??
確率初心者なのでお願いします



351:
132人目の素数さん:2006/10/25(水) 23:06:53
>>344
> >>4の問題のわかりやすいサイトとかありますか??
> 確率初心者なのでお願いします
ネコでもわかるモンティホールジレンマ
http://ishi.blog2.fc2.com/blog-entry-182.html



352:
132人目の素数さん:2006/10/29(日) 03:35:13
>>351
非常に分かりやすい!!



802:
132人目の素数さん:2008/01/06(日) 21:37:15
>>4
前提:司会者はどれが当たりかを知っており、
参加者にみせる箱はランダムに選ばれていない。。

司会者がハズレを見せるパターンは以下の3通り。
・参加者が当たりを選んでいたため、どちらを見せてもハズレ
・参加者がハズレAを選んでいたため、ハズレBを見せた
・参加者がハズレBを選んでいたため、ハズレAを見せた

つまり、始めに選んだ箱が当たりである確率は1/3、箱を変えれば1/1.5となる。



5:
132人目の素数さん:2006/03/27(月) 16:57:18
4つ目。

2つの封筒の問題と呼ばれる


ここにお金の入った封筒が2つある.
一つの封筒には他方の倍のお金が入っている
(言い方を変えると,一つの封筒には他方の半分のお金が入っている).
但し,いくら入っているかは分からない.

あなたは,2つの封筒のうち,どちらか一つを選び,なかのお金をもらえる.

あなたが,一つ選んだところ10,000円が入っていた.

ここで,「あなたが望むなら,もう一つの封筒と替えても良いですよ」と言われる.
さて,問題は「替えるほうが得か,替えないほうが得か」だ.



46:
132人目の素数さん:2006/04/20(木) 17:49:28
ところで>>5って確率つーより期待値求めればいいだけじゃね



47:
132人目の素数さん:2006/04/21(金) 02:27:19
>>46
期待値を求めるのに確率を使わんのか?
使うだろう?
んで、もう片方の封筒に5000円が入ってる確率と
20000円が入ってる確率、それぞれ1/2とすんのか?

そんな情報はどこにも書いてないのに。
結果から言えばこれは1/2じゃないぞ。
5000円が出ることのが2倍多い。
てかそもそも期待値は変わるわけないと直感で思えんか?



58:
132人目の素数さん:2006/06/02(金) 08:05:21
>>5って金額を見るまでは期待値∞なんじゃないの?
全ての自然数が等確率で出るとしたらね。
一方がもう一方の1.25倍の期待値であるというのはどっちも∞なら矛盾じゃないよね?

で、金額を見て10000円って分かった後については、
もう一方のに取り替えるのが1.25倍、つまり期待値12500円なわけだよ。
だから期待値の観点からは、一旦金額を見てしまったら
取り替える方が得ってことでいいんじゃない?

直観に反するのはきっと期待値だけで損得を見ているからな気がする。
なんか∞が絡むときは期待値で損得を考えると
直観に反することがときどきあるような。
違うかな?



716:
132人目の素数さん:2007/08/25(土) 14:19:17
>>5の問題って変えたほうが常に得ってことでいいの?



717:
132人目の素数さん:2007/08/25(土) 14:35:48
>>716
数学的に計算するとそうなる。
10000円お小遣いくれる人も1兆円お小遣いくれる人も同じ確率でいる場合にはね
実生活では違うでしょ?

例えば年収600万円のサラリーマンの親(賃貸住宅)が小学生の双子にやった時と
年収3000万の開業医が大学生の双子にやった時では違うだろ?

この問題の面白さは、交換した方がお得っていう直感と違うことが数学的には起きる
ってことだと思うよ

封筒の中身を見る前の期待値なんて無限大なんだぜ?



61:
132人目の素数さん:2006/06/03(土) 17:31:07
表が出る確率50%、裏も50%のコインがあります
コインを裏が出るまで投げて、それまでに表が出た回数をnとした時
2^n円を貰えるというゲームを考えます
このゲームには何円払ってもいいでしょうか

確率論の黎明期にあったこの問題、なんて名前だったけ



64:
132人目の素数さん:2006/06/04(日) 00:49:30
>>61
聖ペテルスブルグのパラドクス
http://ja.wikipedia.org/wiki/サンクトペテルブルクのパラドックス



268:
132人目の素数さん:2006/07/29(土) 00:51:30
一万人に一人の割合で患者がいる病気の試薬がある。
この試薬は、その病気の患者に対して用いると90%の確率で陽性反応を示すが、

患者でない人に対しても1%の割合で陽性反応を示してしまうことが分かっている。
この試薬をある人に対して用いたところ、陽性反応が出た。
この人が本当にこの病気にかかっている確率を求めよ。




269:
132人目の素数さん:2006/07/29(土) 04:57:54
>>268
陽性の時、本当に病気である確率
=病気で陽性になる確率/陽性になる確率
=病気で陽性になる確率/(病気で陽性になる確率+病気じゃないのに陽性になる確率)
=(1/1万)*(9/10)/{(1/1万)*(9/10) + (9999/1万*1/100)}
=(9/10万)/{(9/10万)+(9999/100万)}
=90/(90+9999)
≒0.89%



270:
132人目の素数さん:2006/07/29(土) 05:18:27
>>269
一瞬計算間違えたかとオモタwww
0.01%しか病気の人は居ないのに
病気じゃない人が1%もひっかかるからこうなるのか



271:
132人目の素数さん:2006/07/29(土) 19:18:09
いいね、この問題
研究室レベルではかなり高性能な試薬でも
一般販売レベルには全然満たないというのを分かりやすく示してる



384:
132人目の素数さん:2006/12/06(水) 00:27:55
賭けに関する有名なお話です。

2つのサイコロを振って、その合計が丁か半か当てる。
当たると掛け金の倍もらえ、はずれると全て没収。
※当然、丁と半の出る確率は2分の1ずつ

6回連続で賭け、その結果が下記の通りになる確率は?
  ①丁に1万。負け。
  ②丁に2万。負け。
  ③丁に4万。負け。
  ④丁に8万。負け。
  ⑤丁に16万。負け。
  ⑥丁に32万。負け。
計算すれば約1.56%だと簡単に分かる。

さて、ここからが本題。

6回連続で負ける確率は1.56%
裏を返せば98%以上の確率で『最低1回は当たる』

この賭け方なら、当たった時点でやめれば『勝ち』である
63万の元金があれば98%の確率で『勝てる』

みんな何故やらないんだ?
その理由を教えてください。



385:
132人目の素数さん:2006/12/06(水) 05:03:33
>>384
それぞれの試行は独立



386:
132人目の素数さん:2006/12/06(水) 08:10:05
いわゆる倍賭け法だが、
・カジノみたいに勝ち逃げができる(任意のタイミングでやめられる)
・ルーレットのゼロ(親の総取り)のようなルールがない
ならそれなりの意味はある。
「元手が多ければ、高確率で『(ほんのわずかでも)勝って』帰れる」ってこと。

ただ期待値はゼロのまま(低確率のところに大マイナスを押し込んだだけ)だし、
何より63万失うリスクを抱えつつ1万勝ちでやめる必要があるわけで、
別に何か得をしているわけではないのが現実。



387:
132人目の素数さん:2006/12/06(水) 12:44:35
63万持ってる状態で1万手に入れてもそんなに嬉しくないし
かといって何十回も繰り返してたらいつか63万円負けを喰らうわけで…



395:
132人目の素数さん:2006/12/07(木) 02:17:42
問題は100%儲けるためには無限の資金が必要と言う点。
現実的には資金は有限なので、つねに有限回しか倍掛けは出来ない



399:
132人目の素数さん:2006/12/07(木) 10:24:04
例えば1000万円持っているとして、目標額が毎日1万円を稼ぐとしよう。
すると失敗率は1/2^10=1/1024
無一文になったら首を括ることにすると
1024日後の生存率は約37%で平均寿命は1024日。
その一方、1000万円の貯金を毎日1万円ずつ切り崩すと寿命は1000日
どちらも大して変わらない。



13:以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2011/04/25(月) 14:38:23.03 ID:JZtMRNsL0
私とあなたで6つの弾倉のあるリボルバー式拳銃でロシアンルーレットします
弾倉に2つの弾丸を連続して(隣り合った状態)でつめ、先行で私がまず引き金をひきます。
私は無事に空の弾倉になりましたが、あなたは次のどちらの行動をした方が
生き残る可能性があるでしょうか?


(1)私が撃った状態の拳銃をそのまま使う
(2)もう一度弾倉を回して撃つ



17:
以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2011/04/25(月) 14:42:18.94 ID:h9WOQHcT0
>>13
同じ



19:
以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2011/04/25(月) 14:46:39.41 ID:JZtMRNsL0
ちなみに>>13の問題は実際にマイクロソフトの
一対一就職面接で出された問題を参考にしてる
(1)3/4
(2)4/6=2/3
で答えは(1)



15: 以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします:2011/04/25(月) 14:41:00.49 ID:ZzAiNBAc0
>>13
その拳銃で相手を撃つ



【雑学】動物のトリビア晒せ『蛇の卵丸呑みが凄い』

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東京に住んでるのに気がついたら「雪国」に住んでいた