面白い未解決の図形問題を淡々と紹介してく

1: それでも動く名無し 警備員[Lv.4][新芽] 2024/09/10(火) 17:28:05.84 ID:KE5B7M5q0

おまえらに形の最適化問題の面白さを伝える

2: それでも動く名無し 警備員[Lv.4][新芽] 2024/09/10(火) 17:28:58.18 ID:KE5B7M5q0

まずはMeissner’s conjecture



この図のように、二つの板で挟んだときの幅が常に一定の図形を「定幅図形」と言うんだが

幅が1の2次元定幅図形の中で面積が最小のものはルーローの三角形であることがもう既に証明されている

しかし幅が1の3次元定幅図形の中で体積が最小のものは未解決

今のところ以下のMeissnerの四面体と呼ばれる特殊な図形が最小でおそらくこれが最適解なんではないかと予想されている

【画像】 鳥山明の全盛期、ガチで凄すぎる

5: それでも動く名無し 警備員[Lv.4][新芽] 2024/09/10(火) 17:30:40.88 ID:KE5B7M5q0

次は多面体の等周問題

Nを自然数として与えて、
「表面積1のN面体の中で体積が最大なものはなにか？」
という問題

驚くべきことにこれだけシンプルな問題でもN=8についてですら解決していない

ちなみに正八面体は正解ではなく、より体積が大きい以下の八面体(ゴールドバーグの多面体)が見つかっていて
これが最適解ではないかと予想されている

6: それでも動く名無し 警備員[Lv.4][新芽] 2024/09/10(火) 17:32:05.84 ID:KE5B7M5q0

次はケルヴィン問題

「空間を等しい体積の図形に分割するとき、境界面積を最小にするにはどうすればいいか」
という問題

この問題を提起したケルヴィン卿は、ケルヴィン構造と呼ばれる切頂八面体が答えでないかと予想したが、問題が提起された約100年後にさらに小さい解である以下のウィア＝フェラン構造が見つかる



この図形達は複雑な構造をしていて、辺と面がわずかに曲率を持っている
現在はこれが最適解ではないかと予想されているが未解決

7: それでも動く名無し 警備員[Lv.8][新芽] 2024/09/10(火) 17:34:20.43 ID:TQ0JO++WM

面白い

8: それでも動く名無し 警備員[Lv.4][新芽] 2024/09/10(火) 17:35:00.59 ID:KE5B7M5q0

次はコンウェイのソファ問題

この問題はとても有名なので知ってる人も多いのではないだろうか

「L字型の通路を通り抜けることができる、図形の面積の最大値を求めよ」

という問題

1968年にハマーズレーによって以下の長方形と扇形を取り付けた形が提案されたが



1992年に18の曲線を貼り合わせた、より大きいジャーバー型が発見される



この図形は局所的に最適な構造であるが、真の解であるかは未解決

13: それでも動く名無し 警備員[Lv.1][新芽] 2024/09/10(火) 17:54:50.26 ID:ZP1QECbfd

>>8
気持ちいいなこれ

12: それでも動く名無し 警備員[Lv.10][新芽] 2024/09/10(火) 17:52:44.14 ID:PiZTBHYq0

よくわからんけどワイらが解いたらええんか？

23: それでも動く名無し 警備員[Lv.2][新芽] 2024/09/10(火) 18:17:23.83 ID:KE5B7M5q0

>>12
ぜひ解いてみてくれ
ここにある問題で一問でも解けたら大ニュースだ

15: それでも動く名無し 警備員[Lv.1][新芽] 2024/09/10(火) 17:59:49.16 ID:KE5B7M5q0

例えば三角形とかに制限した最適化問題であれば、「三角形の辺の長さ」というパラメータがせいぜい3つある程度なので、3次元空間上の関数の最適化問題と思える

しかしながら、一般の「形」というのは無限にパラメータを持つため、「形」の最適化問題は、ある種の無限次元空間上の関数の最適化問題と思える

興味のある奴は形状最適化だとか変分問題で調べてみてくれ

16: それでも動く名無し 警備員[Lv.1][新芽] 2024/09/10(火) 18:04:23.26 ID:KE5B7M5q0

そしてこの無限次元空間上の関数(=汎函数)の最適化問題は、解がそもそもあるのかどうかすら難しい問題になり得る

普通の有界領域上の連続関数であれば、最大最小値の原理から最適解は必ず存在するが、

一般に無限次元空間上の有界領域はコンパクトとは限らないため、有限次元と同様に最適解の存在は示せない

17: それでも動く名無し 警備員[Lv.1][新芽] 2024/09/10(火) 18:07:05.30 ID:KE5B7M5q0

有界領域→有界閉領域の間違いです

解が存在するうんぬんでピンと来ない人もいるだろうけど
次のような例を考えると分かりやすい

例えば(0,1)開区間上の関数f:(0,1)→Rを
f(x)=x
として定める

19: それでも動く名無し ころころ 2024/09/10(火) 18:09:54.86 ID:KE5B7M5q0

そうすると
xが0に近ければ近いほどf(x)は小さくなるが、定義域は0を含まないため、ちょっきり最小値を取ることは出来ない

したがってこのような関数fは最小値が「存在しない」

20: それでも動く名無し 警備員[Lv.2][新芽] 2024/09/10(火) 18:12:07.97 ID:KE5B7M5q0

このように、有限次元の最適化問題ですら最小解の存在は非自明なのに
形の最適化は無限次元の最適化問題

いかに形の最適化が難しくて奥が深い問題なのかが少しは分かってもらえたんじゃないだろうか

21: それでも動く名無し 警備員[Lv.2][新芽] 2024/09/10(火) 18:12:45.85 ID:KE5B7M5q0

最後はモーザーのワーム問題を紹介して終わりにする

「回転、平行移動で一致する曲線は同じものとして、長さ1の曲線を全て入れることができる領域の面積の最小値はなにか」
という問題

例えば直径1の円は、長さ1の曲線を全て入れることができる簡単な例である

しかし、回転して一致するものは同じ曲線とみなされるため、以下の扇形と菱形を組み合わせた図形でも条件を満たすことがわかる



この問題はそもそも最小解が存在するのかということですら未解決

22: それでも動く名無し 警備員[Lv.2][新芽] 2024/09/10(火) 18:14:34.59 ID:KE5B7M5q0

おわり

他にもこの手の問題は「測地線」とか「極小曲面」とか色々面白い問題がワンサカあるので
興味がある人は>>15で書いたワードで勉強してみてくれ！

引用元: ・面白い未解決の図形問題を淡々と紹介してく

これはアカン！！という画像貼っていけ

Comments

[1. 名も無き哲学者]

なるほど完全に理解した

[2. 名も無き哲学者]

解けるけど表現出来ない

[3. 名も無き哲学者]

まだ子らに教える時ではない...今はまだ

[4. 名も無き哲学者]

久々におもしろいスレ見つけてきたな

[5. 名も無き哲学者]

この手の図形問題は激むず過ぎて、趣味にはできないし楽しめない
もう少し適度な難易度の問題が好み(^^;

[6. 名も無き哲学者]

Youtubeで数学の難問紹介してるショート動画あるよな
つい見ちゃう

[7. 名も無き哲学者]

聞いたことがない分野で面白かったな

[8. 名も無き哲学者]

これ系の記事は頭がショートする

今日は退散してやる！おぼえてろよ！(やられ役ｗ)

[9. 名も無き哲学者]

ロータリーエンジンの構造にも応用されてるのかな？

[10. 名も無き哲学者]

こういう最適化問題って全てオイラー・ラグランジュ方程式で解決できるものだと思ってた。
最速降下曲線とかカテナリーってこういう原理で導出されてるでしょ？

[11. 名も無き哲学者]

なるほど分からん
けどおもしろいな

[12. 名も無き哲学者]

wikiガン見しながら書いてそうw

[13. 名も無き哲学者]

>>9
よく勘違いする人いるけどロータリーエンジンの内側は別にルーローの三角形では無い。別に定幅である必要は無いから実際はより正方形の内側に密着出来るように辺の中央は直線になっているし曲線部も1辺を半径とする円弧より大きい角度になっている

[14. 名も無き哲学者]

未だに安倍崇拝してるような壺ウヨには分からんだろ

[15. 名も無き哲学者]

未解決作図問題とかもそうだけどなんかドキドキワクワクするよね

[16. 名も無き哲学者]

こういう問題を変分で解くには自由度が大きいとか拘束条件が複雑とかなんかな

[17. 名も無き哲学者]

>>10
ワイもそう思ってた

[18. 名も無き哲学者]

>>13
よく勘違いする人だったわ
マジか

[19. 名も無き哲学者]

ソファ問題とか正にAIの得意分野じゃないの

[20. 名も無き哲学者]

>>10
俺もソンナー・キガシテタ方程式

[21. 名も無き哲学者]

こういうスレ良いね

[22. 名も無き哲学者]

興味深い(わからん)

[23. 名も無き哲学者]

>>8みたいなgifもっとくれ

[24. 名も無き哲学者]

これは良スレ！

[25. 名も無き哲学者]

1次元のこれ簡単です…っていう最適化問題自体が超絶難しいんだから
2次元以上になるともう人間の頭ではどうにもならんｗ
10年後AIでなんとかなるんだろうか

[26. 名も無き哲学者]

いきなり高難易度のもの持ってくるんじゃない。
入門用の簡易な問題から上げてけ。

[27. 名も無き哲学者]

>>19
より大きい図形が見つかるかもしれんね
でも、それが最大であることの証明はAIには難しそう

[28. 名も無き哲学者]

>>2
余白が足りなすぎるよな

[29. 名も無き哲学者]

>>27
確かに。
大学入試レベルでも証明ってわりとAIは苦手そうなイメージ

[30. 名も無き哲学者]

>>13
ワイも思い込んでいた。ありがとさんやで！

[31. 名も無き哲学者]

ちょっきりってなんだよ

[32. 名も無き哲学者]

おもしろーい
最適解？ってどうやって証明するんだろ

[33. 名も無き哲学者]

こういうのアレだろ、数式並べて証明せなアカンのやろ
AIがいずれ解決してくれるやろﾊﾅﾎｼﾞｰ

[34. 名も無き哲学者]

130試合ぶりのホームラン記事

[35. 名も無き哲学者]

存在しないことを証明するのは不可能なんで、無理。

[36. 名も無き哲学者]

俺もずっと前から気になってるのがあるんだが

デジタル時計の数字を入れ替える能力を持ってるとする
例えば8:30→3:08みたいなこと
そのときに、定時の8:30から17:15までをなるべく短く過ごすには何分かかるか
そして、定時が異なるときに、公式を導くことができるのか

誰かわかったら教えてくれ

[37. 名も無き哲学者]

無人島に持って行く一冊は図形問題の本で決まりだな

[38. 名も無き哲学者]

>>36
時間には干渉できないのでそのまま8時間45分⇒525分
09:11まで待ってから11:09にした場合は41＋6⇒47分
08:30を08:03にして8分待ってから08:11を11:08にした場合は8＋7⇒15分

[39. 名も無き哲学者]

>>38
定時が11:15になってない？

[40. 名も無き哲学者]

>>2
半分くらいしか解けてなさそう

[41. 名も無き哲学者]

難しすぎて何言ってるか殆ど分からん

[42. 名も無き哲学者]

問題も理解しやすくて面白いけど、こういう問題発見できる人すごいな
何個か物理学的な問題に応用できそうだけど、逆にいえば簡単な応用だと思って取り組んだ問題が解決不能に陥ることが頻発するかもしれないのか
物理法則が分かっても人間が応用できる範囲は依然として限定されるわけだ

[43. 名も無き哲学者]

数学的に最も不安定な物体って紹介してる人がいる変なブロックの正体これか、数学なのに不安定な物体って変だなと思ったけど
全然違うてーまのものだったんだな