サイコロの最大値最小値が出る確率の問題★

サイコロをn回振って、最大値の6と最小値の1が出る確率は？

この問題は、
最低一回だけでもいいので最大値の6が出て、同時に、やはり最低一回だけでもいいので最小値の1がでるときの確率を問われてます。

ということは、最大値の6が複数回出てきても大丈夫ですし、同様に最小値の1が複数回出てきても大丈夫ということです。

まともに最大値の6が何回出てそして最小値の1が何回出て…というふうに考えたらどうにもならなくなってくるので逆の発想が必要になってくるんです。
そういうのを余事象っていいます。

つまり、全体の組み合わせから、条件に合わない組み合わせを引き算して条件に合う組み合わせの数を算出するんです。

その、条件に合わない組み合わせって、今回の場合は

①最大値の6が出てきたけど最小値の1が全く出てこなかった
②最小値の1が出てきたけど最大値の6が全く出てこなかった
③最大値の6も最小値の1も両方とも全く出てこなかった

この3パターンが条件に合わない組み合わせですね。
これらの条件に合わない組み合わせを数えるときに『ベン図』を利用します。
このベン図は高校一年の一学期くらいに習うことで高校生の方でしたら何度も見かけるお馴染みの考え方です。

さて、実はここまで一緒に考えてきたサイコロの最大値と最小値が必ず出る確率の問題は京都大学の入試の過去問なんですよ！

つまり、基礎を日頃からしっかり固めておくことが難易度の高い問題を解くときの武器になるんですね！





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逆の発想★

ABCDEの5人の中から4人を選んで順番に並べるときの並べ方は何通りありますか？

高校生の方でしたら5P4で一発ですよね。
でも、樹形図しか知らない中学生の方にはもしかしたらむずかしく思えるかもしれませんね。
まず、5人の中から4人を選ぶときにまともに樹形図を描いては大変です。
4人を選ぶということは『逆の発想』をすると選ばれない一人を選べばいいですね。
選ばれない一人を選ぶということは自動的に4人を選んだことになります。
そのあとで4人の並べ方を考えますが、それぞれの位置に何通りの選び方があるかをかけ算でつないだらもとめることができますよ。
この逆の発想って確率の問題では重宝しそうですね。

物理(運動力学)を教えます★

★物理基礎全範囲に加えて、物理の運動力学までの指導も可能です
。
斜方投射、運動量保存、モーメント、ばね振り子単振り子、回転運動などです。

どこでつりあいの式を作るべきか、容易に見分けるコツを伝授しますよ。

史上最高難易度★

史上最高難易度の数学オリンピックの問題の解法手順です。
数学の専門の学者が6人がかりで挑戦しても誰も解けなかったらしいですよ。

背理法で証明するのですが、要点だけ簡単に解説すると、最小の解を設定して式変形していくと、最小の解よりもさらに小さい解が存在することがわかって、最初に最小の解を設定したつまりそれよりも小さい解は存在しないという設定をしたのに、それよりもさらに小さい解が存在するという論理の矛盾を指摘して証明完了です。

式変形が巧みです。
平方数と平方数でない数が一致することは絶対にあり得ないので、
平方数−平方数でない数≠0を使うなど私にとってとても学べることが多い問題でした。

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