まず,数学を理解することについてを読んでください。以下もその例です。

 前回は,線形写像を図で表す方法と双対空間を導入しました。今回は,別のテンソル積の構成法(これは物理で扱われているテンソルの集合になります)を与えようと思っていましたが,双対空間についてもう少し続けます。つまり,その圏論的な意味と,非退化な対合との関係を紹介します。そのあとで,もう1つ別のテンソル積の構成法についてお話します。今回は,まず圏論的な意味について。
 以下 $K$ を体とし,ベクトル空間はすべて $K$ 上の有限次元ベクトル空間とします。有限次元ベクトル空間とその間の線形写像のなす圏を $\mathrm{mod}\, K$ で表します。

前回,次の定義を与えました。

定義 1. ベクトル空間 $V$ に対して, $V^*:= \mathrm{Hom}_K(V, K)$ を $V$ の双対空間とよぶ。

ここでは,この構成を(反変)関手に拡張して考えます。

反変関手

まず,圏 $\mathcal{C}$ に対して,その反転圏を定義します。これは簡単に言うと, $\mathcal{C}$ の射 $f \colon X \to Y$ の向きを全部逆にしてできる圏のことです。その際,合成の積の順序も逆になります。つまり,もう1つの射 $g \colon Y \to Z$ があるとき, $\mathcal{C}$ のなかでは,これらは次のように並んでいます。
合成できる射
ですから,合成は $g\circ f$ となります。この矢印の向きを全部逆にすると,
反転圏での合成できる射
となりますので,これらの合成は, $f \circ g$ となります。矢の向きを全部逆にしたとき合成の記号を元のものと区別できるように違う記号,例えば $*$ で表ことにすると,これは $f * g$ と書かれることになります。上の $f$ に対してその始点 $X$ を $\mathrm{dom}(f)$ (domainの最初の3文字), その終点 $Y$ を $\mathrm{cod}(f)$ (codomainの最初の3文字) と書くと,矢印の向きを逆にしたとき, $\mathrm{dom}(f)$ が $f$ の終点, $\mathrm{cod}(f)$ が $f$ の始点になります。以上のことを考えに入れると,次のように定義できます。

定義 2. $\mathcal{C} = (\mathcal{C}_0, \mathcal{C}_1, \mathrm{dom}, \mathrm{cod}, \circ)$ を圏とする。 このとき $\mathcal{C}$ の射 $f \colon X \to Y$ と $g \colon Y \to Z$ に対して,
$f * g:= g \circ f$
とおく。すると,
$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}:= (\mathcal{C}_0, \mathcal{C}_1, \mathrm{cod}, \mathrm{dom}, *)$
も圏となる。これを $\mathcal{C}$ の反転圏とよぶ。上の右辺の合成は圏 $\mathcal{C}$ のなかで定義されるので,左辺の合成も $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ の中でなかで定義されることに注意。

定義 3. $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ を圏とする。$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ から $\mathcal{D}$ への関手を $\mathcal{C}$ から $\mathcal{D}$ への反変関手とよぶ。より具体的にいうと, $\mathcal{C}$ から $\mathcal{D}$ への反変関手とは,
● 写像 $F_0 \colon \mathcal{C}_0 \to \mathcal{D}_0$ と
● 写像 $F_1 \colon \mathcal{C}_1 \to \mathcal{D}_1$ との対 $F = (F_0, F_1)$ で次の条件をみたすものである(以下,$F(X):= F_0(X)$, $F(f):= F_1(f)$ ($X \in \mathcal{C}_0$, $f \in \mathcal{C}_1$)と略記する):
● $f \colon X \to Y$ が $\mathcal{C}$ のなかの射であれば, $F(f) \colon F(Y) \to F(X)$ は, $\mathcal{D}$ のなかの射である。
● $F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{F(X)}$  ($X \in \mathcal{C}_0$)
● $F(g \circ f) = F(f) \circ F(g)$  ($f \colon X \to Y$, $g \colon Y \to Z$ in $\mathcal{C}$)
(注意:$F(g \circ f)=F(f *g) = F(f) \circ F(g)$)

例. $R$, $S$ を環とし,$M$ を$R$-$S$-両側加群とします。このとき,反変関手
$\mathrm{Hom}_R(?, M) \colon R\text{-}\mathrm{Mod} \to \mathrm{Mod}\, S$
が次のように定義されます。
(対象の対応) 各 $X \in (R\text{-}\mathrm{Mod})_0$ に対して,
$\mathrm{Hom}_R(?, M)(X):= \mathrm{Hom}_R(X, M)$.
ここで,$\mathrm{Hom}_R(X, M)$ の右 $S$-加群の構造は,次で定義されます:
$(gs)(x):= g(x)s$ ($g \in\mathrm{Hom}_R(X, M), s \in S$).
(射の対応) 各 $f \colon X \to Y$ in $(R\text{-}\mathrm{Mod})_1$ に対して,
$\mathrm{Hom}_R(?, M)(f):= \mathrm{Hom}_R(f, M)\colon \mathrm{Hom}_R(Y, M) \to \mathrm{Hom}_R(X, M)$,
$\mathrm{Hom}_R(f, M)(g):= g \circ f$ $(g \in \mathrm{Hom}_R(Y, M))$.
この対応を図で描くと,
射の対応
このように,これまで $X$ から $Y$ であったものが,$\mathrm{Hom}_R(Y, M)$ から $\mathrm{Hom}_R(X, M)$ と向きが変わります。

練習問題 1. これが確かに反変関手の性質をもつことを確かめてください。

注意. 普通の関手のことを反変関手と対照して,共変関手ともよびます。反変関手を2つ合成すると,共変関手になります。

圏の自己双対(self-duality)

$K$ は $K$-$K$-両側加群なので,上の例を $R = S =K$, $M=K$ に適用することができます。このとき, $K$ は可換なので $K$ 上では,右加群と左加群は同じものと見なせます。ですから,
$K\text{-}\mathrm{Mod} = \mathrm{Mod}\, K$
となります。また,双対空間をとっても次元は変わりませんので,有限次元ベクトル空間の双対空間はまた有限次元ベクトル空間になります。以上より,反変関手
$D:= \mathrm{Hom}_K(?, K) \colon \mathrm{mod}\, K \to \mathrm{mod}\, K$
を考えることができます。すると,$D(V) = V^*$ となります。関手の合成 $D \circ D$ を $D^2$ とおきます。上の注意より, $D^2$ は共変関手になっています。関手 $D$ の射に対する作用をもう一度書くと,上の例での定義から次のようになっています。各線形写像 $f \colon V \to W$ に対して,
$D(f) \colon D(W) \to D(V)$
$D(f)(g):= g\circ f$   ($g \in D(W) = \mathrm{Hom}_K(W, K)$).

まず,次の用語を用意しておきます。

定義 4. 2つの関手 $F, G \colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ の間の自然同型とは,自然変換(例20参照)
$\sigma \colon F \Rightarrow G$
で, $\mathcal{C}$ の各対象 $X$ に対して, $\sigma_X \colon F(X) \to G(X)$ が,圏 $\mathcal{D}$ のなかで,同型になっていることである。

上のような自然同型が存在するとき,これらの関手 $F, G$ は,自然同型であるといいます。自然同型な2つの関手は,同じものであると見なせます。

この用語を使うと,次が成り立ちます。

定理. 任意のベクトル空間 $V$ に対して,自然な同型 $\varepsilon_V \colon V \to \colon D^2(V)$ が存在する。すなわち,2つの関手
$ \mathrm{id}_{\mathrm{mod}\, K}, D^2 \colon \mathrm{mod}\, K \to \mathrm{mod}\, K$
の間の自然同型
$\varepsilon \colon \mathrm{id}_{\mathrm{mod}\, K}  \Rightarrow D^2$
が存在する。

つまり, この2つを同じものと見なせば,
$D \colon \mathrm{mod}\, K \to \mathrm{mod}\, K$

$\mathrm{mod}\, K \leftarrow \mathrm{mod}\, K \colon D$
とは,互いに逆であると言うことです。左から右に行って,また右から左に戻ると何もしなかったのと同じになる。逆に,右から左に行って,また左から右に戻ると何もしなかったのと同じになる,ということですから。この意味で, $D$ は,圏 $\mathrm{mod}\, K$ の自己双対であるといいます。このことを図で表しておきます。
双対の図

注意. 完全に元に戻るわけではなく,上の自然同型の分だけずれます。 $f$ が左から右に行って,また左に戻ってきたときの様子(もとの $f$ との関係)を描くと次のようになります。
戻ってきた様子

証明.
● 各ベクトル空間 $V$ に対して,次のように $\varepsilon_V \colon V \to D^2(V) $ を与えます。任意の $v \in V$ に対して, $\varepsilon_V(v) \in D^2(V) = \mathrm{Hom}_K(D(V) ,K)$ を
$\varepsilon_V(v)(f):= f(v)$,  $(f \in D(V) = \mathrm{Hom}_K(V, K))$
で定義します。
(a) すると, $\varepsilon_V$ は,線形写像になっています。
(b) また, $\varepsilon:= (\varepsilon_V)_{V \in (\mathrm{mod}\, K)_0}$ は,自然変換
$\varepsilon \colon \mathrm{id}_{\mathrm{mod}\, K}  \Rightarrow D^2$
となります。
● 各ベクトル空間 $V$ に対して, $\varepsilon_V$ が同型となることを示します。それには,前回示したように,
$\dim_K D^2(V) = \dim_K D(V) = \dim_K V$
が成り立つので(ここで $V$ が有限次元であることを使っています),
(c) $\varepsilon_V$ が単射であることを示せば十分です。
● いま $v \in V$ とし, $\varepsilon_V(v)=0$ と仮定します。つまり,すべての $f \in D(V)$ に対して, $\varepsilon_V(v)(f)=0$ と仮定します。
● $v_1, v_2, \ldots, v_n$ を $V$ の基底とし, $\check{v}_1, \check{v}_2, \ldots, \check{v}_n$ をその双対基底とします。
● すると, $v = a_1v_1 + a_2 v_2 +\cdots + a_n v_n$ $(a_1, a_2, \ldots, a_n \in K)$ と書けます。
● ここで,とくに $f = \check{v}_1, \check{v}_2, \ldots, \check{v}_n$ に対して条件を適用すると,$0 =\varepsilon_V(v)(\check{v}_i)=\check{v}_i(v) = a_i$ $(i = 1, 2, \ldots, n)$ となります。
● したがって,$v = 0$ となり, $\varepsilon_V$ が単射であることが示されました。 □

注意. 任意のベクトル空間 $V$ に対して,$D(V)$ と $V$ とは同型でしたが,自然同型 $\sigma \colon \mathrm{id}_{\mathrm{mod}\, K}  \Rightarrow D$ は存在しません。(注意:そもそも,$D$ は反変関手, $\mathrm{id}_{\mathrm{mod}\, K}$ は共変関手です。)

練習問題 2. (1) 上の (a), (b) を確かめてください。また,(c)で言われているように,$\varepsilon_V$ が全射であることを証明してください。
(2) 上の注意が成り立つことを示してください。(ヒント:例えば, $f=0 \colon K \to 0$ に対して, $D(f)$ と $f$ を比べてみてください。)

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