第2章(特に2.3節)ではページ数が足りなくなったために,説明を問に替えて,最低限,全体の流れが分かるようにしておきました。その説明を追加するために,そのような問に解答を与えておきます。
今回は,問 2.3.23の解答の続き1です.次回は続き2として,圏論的な証明を書きます.


========= 前回との共通部分 ここから =======

問 2.3.23.  $A$を多元環とし,$0 \ne M \in (\mathrm{Mod} A)_0$とする.
(1) $M_1, M_2 \le M, M = M_1 \oplus M_2$であるとき,
$e_i \colon M \overset{\pi_i}{\to} M_i \hookrightarrow M\ (i = 1,2)$は$\mathrm{End}_A(M)$の冪等元であり,$1_M = e_1 +e_2$となることを示せ.ただし,$\pi_i$は第$i$射影 $m_1+m_2 \mapsto m_i\ (m_1 \in M_1, m_2 \in M_2)$とする.
(2) $e \in \mathrm{End}_A(M)$が冪等元ならば,右$A$-加群として$M = e(M) \oplus (1_M -e)(M)$となることを示せ.
(3) 次が同値であることを示せ.
  (a) $M$は直既約である.
  (b) 多元環$\mathrm{End}_A(M)$の冪等元は0と$1_M$しかない.
 
 この問でも,主張は一般の環 $A$ に対しても成り立つ.
 
 解答例.
(1) 任意の $m = m_1 + m_2 \in M \ (m_1 \in M_1, m_2 \in M_2)$ に対して,
$e_1(e_1(m)) = e_1(m_1) = e_1(m_1 + 0) = m_1 = e_1(m)$.
したがって,$e_1^2 = e_1$ となり,$e_1$ は $\mathrm{End}_A(M)$ の冪等元.$e_2$も同様である.
また,$m = m_1 + m_2 = e_1(m) + e_2(m) = (e_1 + e_2)(m)$ であるから,$1_M = e_1 + e_2$.

(2) $e \in \mathrm{End}_A(M)$ が冪等元とすると,$e^2 = e$.  まず,$M = e(M) + (1_M - e)(M)$ を示す.
右辺が左辺に含まれていることは明らか.逆を示すために $m \in M$ を任意にとる.このとき,
$m = e(m) + (m - e(m)) \in e(M) + (1_M - e)(M)$ であるから,
逆の包含関係も成り立つ.

次に,$e(M) \cap (1_M - e)(M) = 0$ を示す.
左辺の任意の元 $x$ をとると,$x \in e(M)$, $x \in (1_M - e)(M)$
より,ある $m \in M$ と $m' \in M$ によって,
$x = e(m), x = m' - e(m')$ と書けている.
$e^2 = e$ であるから,$e(x) = e^2(m) = e(m) = x$,
$e(x) = e(m') - e^2(m') = e(m') - e(m') = 0$.
この2式から $x = 0$.

最後に,$e(M), (1_M - e)(M)$ ともに右$A$-加群であることを確かめる.
それには任意の $f \in \mathrm{End}_A(M)$ に対して $f(M)$ が右$A$-であることを示せば十分である.しかしこれは$f$が準同型であることと,$M$ が右$A$-加群であることから直ちに従う.

(3) (a) ⇒ (b).  (a)を仮定し,$e \in \mathrm{End}_A(M)$ を冪等元とする.
(2)より,$M = e(M) \oplus (1_M - e)(M)$ となるが,$M$ が直既約であるから,
$e(M) = 0$ または $(1_M - e)(M) = 0$.
前者の場合,$e = 0$, 後者の場合,$1_M - e = 0$ より $e = 1_M$.

(b) ⇒ (a). (b) を仮定し,$M = M_1 \oplus M_2$, $M_1, M_2 \le M$ とする.
(1)のように$e_1, e_2$ を定義すると,(1)より,これらはともに $\mathrm{End}_A(M)$ の
冪等元であり $1_M = e_1 + e_2$.
(2)より,$e_1 = 0$ または $e_1 = 1_M$.
前者の場合,包含写像は単射であるから,$\pi_1 = 0$ となり,$\pi_1$ は
全射であるから,$M_1 = 0$ となる.
後者の場合,$e_2 = 0$ となるから,同様にして,$M_2 = 0$.  □

========= 前回との共通部分 ここまで =======


もっと詳しい話の別のまとめ方:

命題 2.  $A$ を環とし,$0 \ne M \in (\mathrm{Mod}\ A)_0$ とする.
このとき,$M$ の2つの部分加群への直和分解の全体を
$$\mathcal{M}:= \{(M_1, M_2) \mid M = M_1 \oplus M_2;\  M_1, M_2 \le M\},$$ $\mathrm{End}_A(M)$ の単位元 $1_M$ の2つの直交冪等元への分解の全体を
$$\mathcal{E}':= \{(e_1, e_2) \mid 1_M = e_1 + e_2;\  e_1, e_2 \text{ は $\mathrm{End}_A(M)$,
の直交冪等元}\}$$ $\mathrm{End}_A(M)$ の冪等元全体を$$\mathcal{E}:= \{e \in \mathrm{End}_A(M) \mid e^2 = e\}$$とおくと,これらの間に次の全単射が存在する.
triangle-comm
ここで$\alpha, \beta, \gamma$の定義は次の通りである:
● $\alpha \colon \mathcal{M} \to \mathcal{E}', \ (M_1, M_2) \mapsto (e_1, e_2)$, ただし,$e_1, e_2$ は上の(1)で定義されたもの.
● $\beta\colon \mathcal{E}' \to \mathcal{E},\ (e_1, e_2) \mapsto e_1$.
● $\gamma \colon \mathcal{E} \to \mathcal{M}, \ e \mapsto (\Im\ e, \mathrm{Ker}\ e)$.

それらの逆は,
● $\alpha\inv = \gamma \beta \colon (e_1, e_2) \mapsto (\Im\ e_1, \Im\ e_2)$.
● $\beta\inv = \alpha \gamma  \colon e \mapsto (e, 1_M -e)$.
● $\gamma\inv  = \beta  \al \colon  (M_1, M_2) \mapsto e_1$.
で与えられる.

注意. $M = M_1 + M_2$ が成り立てば,$M = M_2 + M_1$ も成り立つから,
$(M_1, M_2) \in \mathcal{M}$ なら,$(M_2, M_1) \in \mathcal{M}$ となる.
同様に,
$(e_1, e_2) \in \mathcal{E}$ なら,$(e_2, e_1) \in \mathcal{E}$ となる.

証明.  まず,$\alpha, \beta, \gamma$ が写像になっていることを確かめる.$\beta$ については明らかである.

(i) $\alpha$ は写像である.
実際,任意の $(M_1, M_2) \in \mathcal{M}$ に対して,$\alpha(M_1, M_2) \in \mathcal{E}$ を示せばよい.$\al(M_1, M_2) = (e_1, e_2)$ とおく.
すでに(1)が示されているので,あとは $e_1$ と $e_2$ が直交することを示せばよい.
各 $m = m_1 + m_2 \in M\ (m_1 \in M_1, m_2 \in M_2)$ に対して,
$e_2(e_1(m)) = e_2(m_1) = e_2(m_1 + 0) = 0$ より $e_2 e_1 = 0$
同様にして,$e_1 e_2 = 0$.
すなわち,$e_1$ と $e_2$ は直交する. OK.

(ii) $\gamma$ は写像である.
実際,任意の $e \in \mathcal{E}$ に対して,$\gamma(e) \in \mathcal{M}$ を示せばよい.
それには,$M = \Im\ e \oplus \mathrm{Ker}\ e$ であることを示せばよい.
まず,$M = \Im\ e + \mathrm{Ker}\ e$ であることを示す.
右辺の2項とも $M$ の部分加群であるから,``(左辺) $\ge$ (右辺)'' は明らか.
逆を示すために,$m \in M$ を任意にとる.$m = e(m) + (m - e(m))$ であり,
$e(m) \in \Im\ e$, $e(m - e(m)) = e(m) - e^2(m) = 0$ より $m - e(m) \in \mathrm{Ker}\ e$.
したがって,$m \in \Im\ e + \mathrm{Ker}\ e$ が言えるから,``(左辺) $\le$ (右辺)''.
あとは,$\Im\ e \cap \mathrm{Ker}\ e = 0$ を示せばよい.この左辺の任意の元 $x$ に対して,
$x \in \Im\ e$ より,ある $m \in M$ で,$x = e(m)$ となる.
しかし $x \in \mathrm{Ker}\ e$ であるから,$0 = e(x) = e^2(m) = e(m) = x$.  OK.

(iii) $\gamma \beta \colon (e_1, e_2) \mapsto (\Im\ e_1, \Im\ e_2)$ ($(e_1, e_2) \in \mathcal{E}$) が成り立つ.
実際,$\gamma(\beta(e_1, e_2)) = \gamma(e_1) = (\Im\ e_1, \mathrm{Ker}\ e_1)$ であるから
$\mathrm{Ker} e_1 = \Im\ e_2$ を示せばよい.$e_1, e_2$ は直交しているから,
$e_1 e_2 = 0$. これより,$\mathrm{Ker}\ e_1 \ge \Im\ e_2$.
任意の $x \in \mathrm{Ker}\ e_1$ に対して,$1_M = e_1 + e_2$ より,
$x = e_1(x) + e_2(x) = e_2(x) \in \Im\ e_2$. したがって,$\mathrm{Ker}\ e_1 \le \Im\ e_2$.   OK.

(iv) $\gamma \beta \alpha = 1_{\mathcal{M}}$ が成り立つ.
実際,任意の $(M_1, M_2) \in \mathcal{M}$ に対して,$\alpha(M_1, M_2) = (e_1, e_2)$ と
おくと,(iii)より,$\gamma(\beta(\alpha(M_1, M_2))) = \gamma\beta(e_1, e_2) = (\Im\ e_1, \Im\ e_2)$.
(1)において,$\pi_1, \pi_2$ ともに全射であるから,$\Im\ e_1 = M_1, \Im\ e_2 = M_2$.
したがって,$\gamma(\beta(\alpha(M_1, M_2))) = (M_1, M_2)$.   OK.

(v) $\alpha \gamma \beta = 1_{\mathcal{E}'}$ が成り立つ.
実際,任意の $(e_1, e_2) \in \mathcal{E}'$ に対して,
$\alpha(\gamma(\beta(e_1, e_2))) = \alpha(\Im\ e_1, \Im\ e_2)$.
この右辺を $(f_1, f_2) \in \mathcal{E}'$ とおく.
このとき,$f_1 = e_1, f_2 = e_2$ を示せばよい.
任意の $m \in M$ に対して,$1_M = e_1 + e_2$ より,
$m = e_1(m) + e_2(m)$.  ここで,$e_1(m) \in \Im\ e_1, e_2(m) \in \Im\ e_2$
であり,直和分解 $M = \Im\ e_1 \oplus \Im\ e_2$ の標準射影を用いて
$f_1, f_2$ が定義されていたので,$f_1(m) = e_1(m)$, $f_2(m) = e_2(m)$.
すなわち,$f_1 = e_1, f_2 = e_2$ が成り立つ. OK.

(vi) $\beta \alpha \gamma = 1_{\mathcal{E}}$ が成り立つ.
実際,任意の $e \in \mathcal{E}$ に対して,
$\beta(\alpha(\gamma(e))) = \beta(\alpha(\Im\ e, \mathrm{Ker}\ e))$.
ここで $\alpha(\Im\ e, \mathrm{Ker}\ e) = (e_1, e_2)$ とおくと,
$\beta(e_1, e_2) = e_1$ であるから,$e_1 = e$ を示せばよい.
$e_1$ は直和分解 $M = \Im\ e \oplus \mathrm{Ker}\ e$ の第1射影で
定義され,任意の $m \in M$ に対して,$m = e(m) + (m - e(m))$,
$e(m) \in \Im\ e$ で,(ii)で示したように $m - e(m) \in \mathrm{Ker}\ e$ となっているから,
$e_1(m) = e(m)$ が成り立つ.すなわち,$e_1 = e$.   OK.

(iv), (v), (vi)より,$\alpha, \beta, \gamma$ は全単射となる.
最後に,$\beta \alpha \colon (M_1, M_2) \mapsto e_1$ は明らかなので,

(vii) $\alpha \gamma \colon e \mapsto (e, 1_M -e)$ を確かめておく.
(v), (vi)より $\alpha \gamma = \beta\inv$ であるから,任意の $e \in \mathcal{E}$ に対して,
$\beta\inv (e) = (e_1, e_2)$ とおくと,
$e_1 = \beta(e_1, e_2) = e$ より,$e_1 = e$.  このとき,
$1_M = e_1 + e_2$ より,$e_2 = 1_M - e_1 = 1_M - e$.
したがって,$\beta\inv (e) = (e, 1_M - e)$.    OK.     □


上の命題から(3)の同値が従うことを説明する.
まず, 次の2つの同値に注意する:

i) $M$ が直既約である (a) ⇔ $\mathcal{M} = \{(M, 0), (0, M)\}$
ii) $\mathrm{End}_A(M)$ の冪等元が $0$ と $1_M$ しかない (b) ⇔ $\mathcal{E} = \{1_M, 0\}$

ここで,命題 2 の全単射 $\gamma$ により,

iii) $\mathcal{M} = \{(M, 0), (0, M)\}$ ⇔ $\mathcal{E} = \{1_M, 0\}$

i), ii), iii) によって,(a) ⇔ (b) となることが分かる.


注意 2 (定義 2.5.17 (2)(分裂する冪等射)との関係).
冪等射$e$がある$y \in \mathcal{C}_0$と$\pi\sigma = 1_y$を満たす $\calC$ の射の組 $y \overset{\sigma}{\to} x \overset{\pi}{\to} y$によって$e = \sigma\pi$と書けるとき,$e$は分裂するという.
一般論の命題 2.5.21により,$\mathrm{Mod} A$ の冪等射はすべて分裂するが,上の対応からも分かる.
すなわち,$0 \ne M \in (\mathrm{Mod} A)_0$ として,$\mathrm{End}_A(M)$ の
冪等元 $e$ をとると,$e = \beta \alpha \gamma(e)$ であるから,$M = \Im\ e \oplus \mathrm{Ker}\ e$ でこれの第1射影を $\pi_1$, 包含写像を $\sigma_1 \colon \Im\ e \hookrightarrow M$ をおくと,
$e = \sigma_1 \pi_1$.  他方 $\pi_1\sigma_1 = 1_{\Im\ e}$ は明らかに成り立つ.すなわち,$e$ は分裂冪等射になっている.