第2章(特に2.3節)ではページ数が足りなくなったために,説明を問に替えて,最低限,全体の流れが分かるようにしておきました。その説明を追加するために,そのような問に解答を与えておきます。
今回は,問 2.3.23の解答の続き2です.圏論的な証明を書きます.共通部分の下の方をご覧ください.

========= 前回との共通部分 ここから =======

問 2.3.23.  $A$を多元環とし,$0 \ne M \in (\mathrm{Mod} A)_0$とする.
(1) $M_1, M_2 \le M, M = M_1 \oplus M_2$であるとき,
$e_i \colon M \overset{\pi_i}{\to} M_i \hookrightarrow M\ (i = 1,2)$は$\mathrm{End}_A(M)$の冪等元であり,$1_M = e_1 +e_2$となることを示せ.ただし,$\pi_i$は第$i$射影 $m_1+m_2 \mapsto m_i\ (m_1 \in M_1, m_2 \in M_2)$とする.
(2) $e \in \mathrm{End}_A(M)$が冪等元ならば,右$A$-加群として$M = e(M) \oplus (1_M -e)(M)$となることを示せ.
(3) 次が同値であることを示せ.
  (a) $M$は直既約である.
  (b) 多元環$\mathrm{End}_A(M)$の冪等元は0と$1_M$しかない.
 
 この問でも,主張は一般の環 $A$ に対しても成り立つ.
 
 解答例.
(1) 任意の $m = m_1 + m_2 \in M \ (m_1 \in M_1, m_2 \in M_2)$ に対して,
$e_1(e_1(m)) = e_1(m_1) = e_1(m_1 + 0) = m_1 = e_1(m)$.
したがって,$e_1^2 = e_1$ となり,$e_1$ は $\mathrm{End}_A(M)$ の冪等元.$e_2$も同様である.
また,$m = m_1 + m_2 = e_1(m) + e_2(m) = (e_1 + e_2)(m)$ であるから,$1_M = e_1 + e_2$.

(2) $e \in \mathrm{End}_A(M)$ が冪等元とすると,$e^2 = e$.  まず,$M = e(M) + (1_M - e)(M)$ を示す.
右辺が左辺に含まれていることは明らか.逆を示すために $m \in M$ を任意にとる.このとき,
$m = e(m) + (m - e(m)) \in e(M) + (1_M - e)(M)$ であるから,
逆の包含関係も成り立つ.

次に,$e(M) \cap (1_M - e)(M) = 0$ を示す.
左辺の任意の元 $x$ をとると,$x \in e(M)$, $x \in (1_M - e)(M)$
より,ある $m \in M$ と $m' \in M$ によって,
$x = e(m), x = m' - e(m')$ と書けている.
$e^2 = e$ であるから,$e(x) = e^2(m) = e(m) = x$,
$e(x) = e(m') - e^2(m') = e(m') - e(m') = 0$.
この2式から $x = 0$.

最後に,$e(M), (1_M - e)(M)$ ともに右$A$-加群であることを確かめる.
それには任意の $f \in \mathrm{End}_A(M)$ に対して $f(M)$ が右$A$-であることを示せば十分である.しかしこれは$f$が準同型であることと,$M$ が右$A$-加群であることから直ちに従う.

(3) (a) ⇒ (b).  (a)を仮定し,$e \in \mathrm{End}_A(M)$ を冪等元とする.
(2)より,$M = e(M) \oplus (1_M - e)(M)$ となるが,$M$ が直既約であるから,
$e(M) = 0$ または $(1_M - e)(M) = 0$.
前者の場合,$e = 0$, 後者の場合,$1_M - e = 0$ より $e = 1_M$.

(b) ⇒ (a). (b) を仮定し,$M = M_1 \oplus M_2$, $M_1, M_2 \le M$ とする.
(1)のように$e_1, e_2$ を定義すると,(1)より,これらはともに $\mathrm{End}_A(M)$ の
冪等元であり $1_M = e_1 + e_2$.
(2)より,$e_1 = 0$ または $e_1 = 1_M$.
前者の場合,包含写像は単射であるから,$\pi_1 = 0$ となり,$\pi_1$ は
全射であるから,$M_1 = 0$ となる.
後者の場合,$e_2 = 0$ となるから,同様にして,$M_2 = 0$.  □

========= 前回との共通部分 ここまで =======

もっと詳しい話の圏論的な扱い:

以上の話を圏論的に扱う.命題 2.5.21より,環$A$に対して,$\mathrm{Mod}\ A$ は冪等完備なので,より一般に冪等完備な線形圏 $\mathcal{D}$ に対して考察する.
($\mathcal{D} = \mathrm{Mod}\ A$ に適用すればよい.)

命題. $\mathcal{D}$ を冪等完備な線形圏,$M \in \mathcal{D}_0$ とする.
   $\mathcal{S}:= \{(s, r) \mid L \overset{s}{\to} M \overset{r}{\to} L, rs = 1_L, \exists L \in \mathcal{D}_0\},$
   $\mathcal{E}:=\{e \in \mathcal{D}(M, M) \mid e^2 = e\}$
とおき,$\mathcal{S}$ における同値関係 $\sim$ を次で定義する.
任意の $(s,r), (s',r') \in \mathcal{S}$ に対して,$(s,r) \sim (s',r')$ であることを,次の図式を可換にするような同型 $u \colon L \to L'$ が存在することとして定義する:
eq-rel-split-idemp
また,$(s,r) \in \mathcal{S}$ の属する同値類を $[s,r]$ で表すことにする.
このとき,全単射$$\ep \colon \mathcal{S}/\!\sim\, \to \mathcal{E},\  [s,r] \mapsto sr$$が存在する.

証明. 上の $\mathcal{S}$ の関係 $\sim$ が同値関係になっていることは容易に分かる.任意の$(s,r) \in \mathcal{S}$ に対して,$sr \in \mathcal{E}$ となることは,$srsr = s1_L r = sr$ となることから分かる.
また,上の図式を可換にする同型 $u$ によって,$(s,r) \sim (s',r')$ となっているとすると,$s' = su\inv, r' = ur$ であるから,$s'r' = su\inv ur = sr$ が成り立つ.以上より,$\ep$ は写像になっている.$\mathcal{D}$ の冪等完備性から $\ep$ は全射になる.

 あとは,$\ep$ の単射性を示せばよい.$(s_1,r_1), (s'_1,r'_1) \in \mathcal{S}$ をとり,$s_1r_1 =s'_1r'_1$ が成り立ったとする.この共通の値を $e$ とおく.このとき,$(s_1,r_1) \sim (s'_1, r'_1)$ を示せば証明が終わる.$\mathcal{S}$ の定義より,ある $L_1, L'_1 \in \mathcal{D}_0$ によって
$L_1 \overset{s_1}{\to} M \overset{r}{\to} L_1, \ L'_1 \overset{s'_1}{\to} M \overset{r'_1}{\to} L'_1$,  $r_1s_1 = 1_{L_1},\ r'_1s'_1 = 1_{L'_1}$ となっている.$1_M - e$も冪等元なので分裂し,$1_M - e = s_2r_2,\ r_2s_2 = 1_{L_2}$を満たす $L_2 \overset{s_2}{\to} M \overset{r_2}{\to} L_2$ がとれる.
一般論(補題 2.5.19)により,$(L_i \overset{s_i}{\to} M \overset{r_i}{\to} L_i)_{i=1}^2$ は直和系になっている.

 このとき,$s_1$ が $1_M - e$ の核射になっていることを示す.まず, $(1_M - e)s_1 = s_1 - s_1r_1s_1 = s_1 - s_1 = 0$.  次に,$f\colon X \to M$ が $(1_M - e)f = 0$ を満たしたとすると,$s_2r_2f = 0$ であり,$1_M = s_1r_1 + s_2r_2$ であるから,$f = s_1r_1f + s_2r_2f = s_1r_1f$ となる.すなわち,$f$ は $s_1$ を通過する.他に $g \colon X \to L_1$ によって,$f = s_1 g$ となったとすると,左から $r_1$ を掛けて,$r_1f = r_1s_1g = g$ が得られ,このような $g$ は $r_1f$ ただ1つしかないことが分かる.
以上で,$s_1$ が $1_M - e$ の核射になっていることが示された.

 $L'_2:= L_2, s'_2:= s_2, r'_2:= r_2$ とおくと,$(L'_i \overset{s'_i}{\to} M \overset{r'_i}{\to} L'_i)_{i=1}^2$ も直和系であるから,同様にして,$s'_1$ も $1_M - e$ の核射になることが示される.したがって,核の普遍性により,$s_1 = s'_1 u$ を満たす同型 $u\colon L_1 \to L'_1$ が存在する.このとき,$s_1r_1 = s'_1r'_1$ より $s'_1 u r_1 = s'_1r'_1$.  左から $r'_1$ を掛けると,$ur_1 = r'_1$ が得られる.したがって,$(s_1, r_1) \sim (s'_1, r'_1)$.  □

この命題を用いて問 2.3.23(3)の解答を与えると,

補題.  $\mathcal{D}$ を冪等完備な線形圏,$0 \ne M \in \mathcal{D}_0$ とする.このとき次は同値である.
(1) $M$ は直既約である.
(2) 任意の $(s,r) \in \mathcal{S}$ に対して,$(s,r) = (0,0)$ または$s,r$は互いに逆の同型である.
(3) $\mathcal{E} = \{0, 1_M\}$

証明. (1) ⇒ (2).  (1)を仮定し,$(s_1,r_1) \in \mathcal{S}$ とする.$M_1:= \mathrm{dom}(s_1) = \mathrm{cod}(r_1)$ とおくと,補題 2.5.19より,直和系 $(M_i \overset{s_i}{\to} M \overset{r_i}{\to} M_i)_{i=1}^2$ が存在する.特に,$M  \cong M_1 \amalg M_2$.  $M$ が直既約なので,$M_1 = 0$ または $M_2 = 0$.  前者の場合,$(s_1,r_1) = (0,0)$.  後者の場合,$s_2r_2 = 0$ となるから,$1_M = s_1r_1 + s_2r_2$ より$1_M = s_1 r_1$. これと $1_M = r_1s_1$ より$s, r$ は互いに逆の同型になる.

(2) ⇒ (3).  上の命題の全単射を用いると,(2)から $\mathcal{E} = \Im\ \ep = \{0, 1_M\}$.

(3) ⇒ (1).  (3) を仮定し,$M \cong M_1 \amalg M_2$ とすると,命題 1.5.14より直和系 $(M_i \overset{s_i}{\to} M \overset{r_i}{\to} M_i)_{i=1}^2$ が存在する.$s_1r_1 \in \mathcal{E}$ より(3)から,$s_1r_1 = 0$ または $s_1r_1 = 1_M$ となる.前者の場合,左から $r_1$ を掛けて,$r_1=0$ であるから,$1_{M_1} = r_1s_1 = 0$ より $M_1 = 0$.後者の場合,$1_M = s_1r_1 + s_2r_2$ より $s_2r_2 = 0$. 上と同様にして,$M_2 = 0$.  したがって,$M$ は直既約になる. □

注意.  (2) ⇒ (1) と (3) ⇒ (2) の直接証明を書いておく:
(2) ⇒ (1).  (2)を仮定し,$M \cong M_1 \amalg M_2$ とすると,命題 1.5.14より直和系 $(M_i \overset{s_i}{\to} M \overset{r_i}{\to} M_i)_{i=1}^2$ が存在する.このとき,$(s_1,r_1) \in \mathcal{S}$ より,$(s_1,r_1) = (0,0)$ または,$s_1,r_1$は互いに逆の同型である. 前者の場合,$M_1 = 0$.  後者の場合,$1_M = s_1r_1 + s_2r_2$ より $s_2r_2 = 0$.  これより,$M_2 = 0$.

(3) ⇒ (2).  (3)を仮定し,$(s,r) \in \mathcal{S}$ とし,$L:= \mathrm{dom}(s) = \mathrm{cod}(r)$ とおく.すると,上の命題 より,$sr = 0$ または $sr = 1_M$.  前者の場合,左から $r$ を掛けて,$r=0$. 右から $s$ を掛けて,$s = 0$ が得られる. 後者の場合,$rs = 1_L$ と合わせて,$s, r$ は互いに逆の同型になる.