rhidetoのblog

数学に現れる定義,定理,証明を理解するために,これまでいろいろと考えてきたことを主に書いていこうと思います。「数学を絵で理解しよう」

解析学

例5. 連続写像

まず,数学を理解することについてを読んでください。以下もその例です。

関数の極限まで絵が描けるようになりましたので,次に連続性に移ります。

定義.関数 $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ が点 $a \in \mathbb{R}$ で連続であるとは,$\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ となることである。すなわち,どの正の実数 $\varepsilon$ に対しても,ある正の実数 $\delta$ がとれて,$|x - a| < \delta$ となるすべての実数 $x$ が $|f(x) - f(a)| < \varepsilon$ をみたすことである。

注意.$x = a$ のときも, $|f(x) - f(a)| = 0 < \varepsilon$ がみたされているので,条件 $0 < |x - a|$ はなくてもよい。

これを絵で描くと:
連続関数
動画にすると:
連続関数アニメ+

次に一般の位相空間の間の写像の連続性に移ります。絵の描き方は,これまでとほとんど同じです。

定義.$f \colon X \to Y$ を位相空間 $X$ から $Y$ への写像とする。$f$ が $X$ の点 $a$ で連続であるとは, $f(a)$ のどの近傍 $V$ に対しても, $a$ のある近傍 $U$ がとれて,$f(U) \subseteq V$ となることである。
(また,すべての $a \in X$ で $f$ が連続であるとき,$f$ は連続写像であるという。)

これを,絵に描くと:
連続写像
動画にすると:
連続写像アニメ+

最後に,写像の合成と連続性との関係について。

命題.$f \colon X \to Y$, $g \colon Y \to Z$ を位相空間 $X, Y, Z$ の間の写像とし,$a \in X$ とする。$f$ が $a$ で連続で,$g$ が $f(a)$ で連続ならば,合成写像 $gf \colon X \to Z$ も $a$ で連続である。

この命題の証明を書くとき,頭に見える景色を描くと:
連続写像の合成
動画にすると:
連続写像の合成アニメ+
証明.● $W$ を $(gf)(a)$ の任意の近傍とします.
● $g$ が $f(a)$ で連続なので,ある $f(a)$ の近傍 $V$ がとれて,$g(V) \subseteq W$. 
● $f$ が $a$ で連続であることをこの $V$ に対して適用すると,ある $a$ の近傍 $U$ がとれて,$f(U) \subseteq V$.
● すると,$(gf)(U) \subseteq g(V) \subseteq W$ より,$(gf)(U) \subseteq W$.  □

このことから特に,連続写像の合成はまた連続写像であることがわかります。

例4. 収束の証明の例

まず,数学を理解することについてを読んでください。以下もその例です。

収束の定義を絵で見ることができるようになったところで,収束に関する命題の証明を絵で考える例を示します。

命題.数列 $(a_n)_{n \ge 1}, (b_n)_{n \ge 1}$ がそれぞれ $a, b$ に収束すれば,数列 $(a_n + b_n)_{n \ge 1}$ は $a+b$ に収束する。

記号で書くと,$\displaystyle\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n +\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$.
絵で表すと(いつものように動画としてみてください):
(1) (任意の $\varepsilon_1 > 0$ に対してある番号 $N_1$ がとれて [この部分は動画の出現順序で表されます])
収束の証明の例2-ep1
(2) (任意の $\varepsilon_2 > 0$ に対してある番号 $N_2$ がとれて)
収束の証明の例3-ep2

以上が成り立つならば,
(3)  (任意の $\varepsilon > 0$ に対してある番号 $N$ がとれて)
収束の証明の例7'
注意.上で,$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon$ の間には何の関係もないので,異なる記号を用いました。

証明の計画.  $\varepsilon$ を任意の正の実数とします。
収束の証明の例1
目指すのは,
収束の証明の例7'
となるような番号 $N$ を見つけることです。

試行.
上の(1), (2)が成り立っているとするとします。このとき,番号 $N$ を $N_1$ と $N_2$ のどちらよりも大きくとると,
収束の証明の例4-epep

となります 。
(なぜなら,例えば
$a-\varepsilon_1 < a < a + \varepsilon_1$ と
$b-\varepsilon_2 < b < b + \varepsilon_2$ の辺々を加えると
$(a+b) -\varepsilon_1 -\varepsilon_2 < a+b < (a+b) + \varepsilon_1+\varepsilon_2$ となるからです。 [これも,式それ自身を絵として用いた,一種の視覚的な証明になっています。] 以下の証明では三角不等式を用いて書きました。)
ですから,$\varepsilon_1 + \varepsilon_2 = \varepsilon$ となるように $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ をとって(1), (2)を適用すればいいわけです。
 例えば,そのようなものとして $\varepsilon_1 = \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon_2$ を取ることができます ($\frac{\varepsilon}{2}$ も正の実数であることに注意)。

証明にもどる
$\varepsilon_1=\frac{\varepsilon}{2}$ に対して,(1) を用いると,ある番号 $N_1$ がとれて,
収束の証明の例5
$\frac{\varepsilon}{2}=\frac{\varepsilon}{2}$ に対して,(2) を用いると,ある番号 $N_2$ がとれて,

収束の証明の例6
するとめでたく,$N_1$ と $N_2$ のどちらよりも大きい番号 $N$ をとると,
収束の証明の例7
以上の3枚の絵を頭に描いて,それを式で表せば,ちゃんとした証明になります:

完成した証明.
$\varepsilon$ を任意の正の実数とします。$\frac{\varepsilon}{2}$ も正の実数なので,これに対して,仮定を適用すると,ある番号 $N_1$ がとれて,そこから先のすべての番号 $n$ に対して,$|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2}$.  また,ある番号 $N_2$ がとれて,そこから先のすべての番号 $n$ に対して,$|b_n - b| < \frac{\varepsilon}{2}$.  このとき,番号 $N$ を $N_1$ と $N_2$ のどちらよりも大きくとると,$N$ 以上のすべての番号 $n$ に対して, $$\begin{aligned}|(a_n+b_n) - (a+b)| &= |(a_n -a) + (b_n -b)| \\&\le |a_n -a| + |b_n -b| \\&< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.\text{  □}\end{aligned}$$

例3. $\varepsilon$-$\delta$ 論法による関数の極限(図入り)

まず,数学を理解することについてを読んでください。以下もその例です。

数列の収束と同じように,関数の極限も絵で表すことができます。

定義.$f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を関数とし,$a, b \in \mathbb{R}$ とする。どの正の実数 $\varepsilon$ に対しても,ある正の実数 $\delta$ がとれて,$0<|x - a| < \delta$ となるすべての $x \in \mathbb{R}$ に対して,$|f(x) - b| < \varepsilon$ となるとき,$x$ が $a$ に近づくときの $f(x)$ の極限は $b$ であるといい,記号 $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = b$ で表す。

注意.$f(a)$ の値は $b$ とは異なることもあり得ます。そのときは,$\varepsilon$ を $|f(x) -b|$ より小さくとると $\delta > 0$ をどのようにとっても,上の下線部分が $x = a$ のところで成り立ちません。このような場合も取り扱うためには,$x = a$ を除外しておけばいいわけです。($f(a)$ の値に関係なく,$f$ の $a$ の近くでの値を問題にしています。)そのために $0<|x - a|$ としてあります。このことは,絵では,$a$ のところに孔を空けて表します。開区間 $(a - \delta, a + \delta)$ から $a$ を取り除いた,孔あき開区間を $(a - \delta, a + \delta)'$ で表しておきます。

この定義を,絵で表しておきます:
極限の定義kbアニメ4

この絵を次のような動画としてみてください。

極限の定義kbアニメ

(0) 背景は,上下の2本の数直線と $a$ と $b$ です。そこに,

(1) まず $\varepsilon$ が与えられ,それによって,下の数直線上に開区間 $(b - \varepsilon, b + \varepsilon)$ が現れ,

(2) 次に,$\delta$ がとられて,上の数直線上に孔あき開区間 $(a - \delta, a + \delta)'$ が現れます。

(3) 最後に上の孔あき開区間 $(a - \delta, a + \delta)'$ から下の開区間 $(b - \varepsilon, b + \varepsilon)$ に向かって関数の対応を表す赤い矢印が一斉に下に向かって降りていく。


以下の3枚の絵もこのようにしてみてください。

上の関数 $f$ がこの性質をもつとします。このとき,本当に $x$ が"限りなく" $a$ に近づくと,$f(x)$ が"限りなく" $b$ に近づくように見えるか確かめてみます。

準備.
(1) まず,任意に正の実数 $\varepsilon_1$ をとります。するとこの $\varepsilon_1$ に対して,正の実数 $\delta_1$ がとれて,$(a-\delta_1, a+\delta_1)'$ のなかのすべての点 $x$ が $f$ によって,$(b-\varepsilon_1, b+\varepsilon_1)$ のなかに移されます。
極限kbのアニメ1
(2) 次に $\varepsilon_1$ より小さい正の実数 $\varepsilon_2$ をとります。するとこの $\varepsilon_2$ に対しても,正の実数 $\delta_2$ がとれて,$(a-\delta_2, a+\delta_2)'$ のなかのすべての点 $x$ が $f$ によって,$(b-\varepsilon_2, b+\varepsilon_2)$ のなかに移されます。
極限kbのアニメ2
このとき,この $\delta_2$ は $\delta_1$ より小さくとっておくことができることに注意しておきます。(なぜかというと,$\delta'_2$ をいまとった $\delta_2$ と $\delta_1$ のどちらよりも小さい正の実数とすると,上のことから $(a-\delta'_2, a+\delta'_2)'$ のなかのすべての点 $x$ が $f$ によって,$(b-\varepsilon_2, b+\varepsilon_2)$ のなかに移されます。ですから,$\delta_2$ をこの $\delta'_2$ に取り替えれば,上の性質をみたしながら,$\delta_2 < \delta_1$ もみたします。)
(3) さらに $\varepsilon_2$ より小さい正の実数 $\varepsilon_3$ をとります。するとこの $\varepsilon_3$ に対しても,正の実数 $\delta_3$ がとれて,$(a-\delta_3, a+\delta_3)'$ のなかのすべての点 $x$ が $f$ によって,$(b-\varepsilon_3, b+\varepsilon_3)$ のなかに移されます。
極限kbのアニメ3

ここでも,$\delta_3 < \delta_2$ となるようにとっておくことができることに注意しておきます。
(4) 同様にして,$\varepsilon_4, \delta_4, \varepsilon_5, \delta_5, \dots$ をとっておきます。

アニメーション.
以上の準備の下で関数 $f$ の動きを観察してみましょう。
極限kbのアニメ
$a$ の周りの半径 $\delta$ の孔あき開区間 $(a - \delta, a+\delta)'$ を考え,$\delta$ を小さくして行きます。
(1) $\delta$ が $\delta_1$ より小さくなったら $(a - \delta, a+\delta)'$ のなかの点はすべて $(b-\varepsilon_1, b+\varepsilon_1)$ のなかに移されます。
(2) $\delta$ が $\delta_2$ より小さくなったら $(a - \delta, a+\delta)'$ のなかの点はすべて $(b-\varepsilon_2, b+\varepsilon_2)$ のなかに移されます。
(3) $\delta$ が $\delta_3$ より小さくなったら $(a - \delta, a+\delta)'$ のなかの点はすべて $(b-\varepsilon_3, b+\varepsilon_3)$ のなかに移されます。
(4) 同様にして,$\delta$ が $\delta_4$ より小さくなったら$\cdots\cdots$
($x$ と $a$ との距離を表す) $\delta$ が小さくなるにつれて, $(a - \delta, a+\delta)'$ の移り先がどんどん $b$ の近くに縮んでいく様子が見えるでしょう。$f(x)$ がいくらでも $b$ に近づけるのは,定義のなかで最初に与える $\varepsilon$ を任意としてあるからです。

例 1. $\varepsilon$-$N$ 論法による数列の収束(図入り)

次の「数学を理解することについて」を先に読んでください。記事を2つに分解するときに順序を間違えてしまいましたので。

大学に入ったばかりの頃,これを理解するのには苦労したものでした。結局次のようなアニメーションを描くことで理解できました。以下の説明は,「数列」を絵として頭に思い描けることを仮定して,書いています (数列をイメージする方法については「例2. 写像の絵」を参照してください)。黒板で説明するときは,動きまで込めて見せられるのですが,ここでは,静止画しか見せることができません。(図は,iPad mini の neu.Notes+ で描き,その絵を元にしてGIFアニメーションをGIFfunで作りました。)


定義.$(a_n)_{n \ge 1}$ を実数列,$a$ を実数とする。どの正の実数 $\varepsilon$ に対しても,その $\varepsilon$ ごとに,ある番号 $N$ がとれて,そこからさきのすべての番号 $n$ に対して $|a_n - a| < \varepsilon$ となるとき,数列 $(a_n)_{n \ge 1}$ は実数 $a$ に収束するという。


この定義の絵を描いておきます。


収束のアニメ1'


この絵を次のような動画としてみてください。


収束の定義のアニメ


(0) 背景は,上下の2本の数直線と青で書いた $a$ です。そこに,

(1) まず $\varepsilon$ が与えられ,それによって,下の数直線上に開区間 $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$ が現れ,

(2) 次に,上の数直線上に $N$ がとられて,右に延びる矢印が現れます。

(3) 最後に $N$ からさきの番号から下の数直線の開区間 $(a - \varepsilon, a + \varepsilon)$に向かって数列の対応を表す赤い矢印が一斉に下に向かって降りていく。

以下の3枚の絵もこのようにしてみてください。


この定義の条件が成り立っているとき,果たして"収束する"という現象が起こっているのか確かめます。


準備.

(1) まず,正の実数 $\varepsilon_1$ をかってにとります。すると上の条件から,この $\varepsilon_1$ に対して,ある番号 $N_1$ がとれて, そこからさきのすべての番号 $n$ に対して $|a_n - a| < \varepsilon_1$ となっています。


収束のアニメ1

(2) 次に,正の実数 $\varepsilon_2$ を $\varepsilon_1$ より小さくとります。すると上の条件から,この $\varepsilon_2$ に対しても,ある番号 $N_2$ がとれて, そこからさきのすべての番号 $n$ に対して $|a_n - a| < \varepsilon_2$ となっています。
収束のアニメ2

注意:このとき番号 $N_2$ を $N_1$ よりも大きくとっておくことができます。
(つまり,$N'_2$ を $N_1$ と $N_2$ のどちらよりも大きくとります。すると,$N_2$ からさきのすべての $n$ で $|a_n - a| < \varepsilon_2$ となっていますから,$N'_2$ からさきのすべての $n$ でも同じことが成り立っています。ですから この $N'_2$ を,あらためて $N_2$ としてとりなおせばいいわけです。 )
(3) さらに,正の実数 $\varepsilon_3$ を $\varepsilon_2$ より小さくとります。すると上の条件から,この $\varepsilon_3$ に対しても,ある番号 $N_3$ がとれて,そこからさきのすべての番号 $n$ に対して $|a_n - a| < \varepsilon_3$ となっています。
収束のアニメ3


  • ここでも上と同様にして,番号 $N_3$ を $N_2$ よりも大きくとっておくことができます。
  • 以上のようにして,正の実数の減少列 $\varepsilon_1 > \varepsilon_2 > \varepsilon_3 > \cdots$ と,自然数の増大列 $N_1 < N_2 < N_3 < \cdots$ をとります。

アニメーション.

以上の準備のもとで,数列 $(a_n)_{n \ge 1}$ の動きを観察してみましょう。


収束のアニメ
(1) 番号 $n$ が $N_1$ を越えると,$a_n$ はすべて(1つの例外なく) $a$ との距離が $\varepsilon_1$ より小さい範囲 $(a - \varepsilon_1, a + \varepsilon_1)$ のなかに入っています。

(2) $N_2$ を越えると,$a_n$ はすべて(1つの例外なく) $(a - \varepsilon_2, a + \varepsilon_2)$ のなかに入っています。

(3) $N_3$ を越えると,$a_n$ はすべて(1つの例外なく) $(a - \varepsilon_3, a + \varepsilon_3)$ のなかに入っています。

  • 以下同様。これで,番号 $n$ が大きくなると (例えば $N_i$ より大きくなると),$a_n$ の存在する範囲 (つまり $(a - \varepsilon_i, a + \varepsilon_i)$) がどんどん縮んでいくことがわかります。
  • まさに「$a_n$ が $a$ に収束する」という感じになります。

細かい注意.

(1) 上で,正の実数の減少列 $\varepsilon_1 > \varepsilon_2 > \cdots$ としてどのようなものをとっても,上のような自然数の増大列 $N_1 < N_2 < \cdots$ がとれることに注意します。

例えば,$\varepsilon_1 = 1, \varepsilon_2 = \frac{1}{2}, \varepsilon = \frac{1}{3}, \dots$ のように0に"収束"することが直感的にわかるようなものにとっておくこともできます。

(2) 番号が大きくなるとき,どれだけ $a_n$ を $a$ に近づけられるかが問題ですので,$a$ との距離を表す $\varepsilon$ の小さい値のほうが問題になり,大きい値の方は問題になりません。

  • 詳しくいうと,ある $\varepsilon$ に対して,番号 $N$ が上のようにとれれば,その $\varepsilon$ よりも大きい値の $\varepsilon'$ に対しては,その同じ $N$ をとることができて ($|a_n -a| < \varepsilon < \varepsilon'$ から $|a_n -a| < \varepsilon'$ が導かれるので) 条件は自動的にみたされてしまいます。
  • どの正の実数 $\varepsilon$ に対しても」といっても,大きい値のほうについては条件が自動的にみたされるため,実質的には「どんなに小さい正の実数 $\varepsilon$ に対しても」というのと同じ意味になります。
  • またこのように言っておけば,「どんなに小さい」という定義するのが難しい言葉を用いる必要もなくなります。
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