>

龍孫江の数学日誌

あらためてしっかり「数学書を読む」ブログです.

M.Atiyah-I.G.MacDonald『Introduction to Commutative Algebra』読了しました.
現在, 成田正雄『Unique Factorization Domains』講読中です。

可換環論botの質問箱、問答集でございます。

 年初以来, 作ったはいいもののしばらく放置していた「可換環論bot」を, 登録ツイートによる自動運用と中の人 (つまりぼくです) による手動運用との併用に切り替えました. 最初はエゴサーチ等で他の人たちとの交流を楽しもうかとも考えたのですが, ちょうど現れた質問箱なるサービスが適度な距離感を保ったまま交流を楽しめそうなツールでして, いろいろ頂くご質問にお応えするという形でしばらくやってきました.
 人見知りのくせにお喋りという困った性根のせいで, ひとつのご質問に長々とリプを重ね続ける, Twitter本来の志向性とは真逆に思われるスタイルでおしゃべりを続けておりましたところ, 意外にも楽しんで読んで頂いている方がいらっしゃるようで, ぼくとしても喜んでおりました. さらには「一覧があるといいのに」と質問箱に頂きましたので, 調子に乗ってこんな記事を書いているという次第です.

 おおざっぱに「こうかな?」と感じた分類で分けてあります. また基本的に時系列が新しいものを上に並べてあります. ご意見やご感想, 違和感などございましたら, お気兼ねなくなんなりとお申し付けくださいませ.

「続きを読む」から続きをご覧いただけます.ランキング参加中です.続きを読む

数学日誌別館のご案内(令和元年8月第2週)

 数学日誌別館をご愛顧いただきありがとうございます.

 5月の営業開始以来, 毎週その都度「テキスト版」をご紹介してきたわけですが, 8月から月額継続版を開始いたしました.
『龍孫江の数学日誌』別館 in note(継続購入版)

こちらのマガジンをご購読いただきますと, 毎月4回のテキスト版に加え, 更新ごとに note からも更新の通知が届きます. また不定期に雑感雑文などもお届けしたいと思っておりますので, どうぞご購読を検討ください.

 もちろん, テキストは週ごとのご購入も可能です. 今週のテキストはこちらからお求めいただけます :

数学日誌 in note令和元年8月第2週分(テキスト版)


8月12日(月) 群論:与えられた指数をもつ $\mathbb{Z}^2$ の部分群

<問題> 加法群 $G = \mathbb{Z}^2$ とする.
(1) $G$ の指数 $2$ の部分群を総て求めよ.
(2) $G$ の指数 $7$ の部分群の数を求めよ.
GS007

8月13日(火) 環論:非ネーター的な部分環

<問題> 有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の多項式環 $\mathbb{Q}[x]$ の部分環 $$ R := \{ f(x) \in \mathbb{Q} \mid f(0) \in \mathbb{Q} \}$$ について, 以下を証明せよ :
(1) $R$ の有限生成イデアルは単項イデアルである.
(2) $R$ のイデアル $\left( \frac{x}{2^n} \mid n \in \mathbb{N} \right)$ は有限生成ではない.
RS008

8月15日(木) 体論:対称式が生成する部分体

<問題> 複素数 $a$, $b$, $c$ に対し, 以下の体を考える :
  • $K = \mathbb{Q}(a,b,c)$,
  • $E = \mathbb{Q}(a+b,ab,c)$,
  • $F = \mathbb{Q}(a+b+c, ab+bc+ca,abc)$
(1) $K$ は $F$ のガロア拡大, $E$ はその中間体であることを示せ.
(2) 拡大次数 $[E : F]$ は $1$, $2$, $3$ のいずれかで, かついずれの値も取りうることを示せ.
KS005

8月9日(金):ネーター環における素因子

<問題> ネーター環 $A$ のイデアル $I$ に対し, $$ I = Q_1 \cap \cdots \cap Q_s$$ をその無駄がない準素分解, $P_t = \sqrt{Q_t}$ とする. 以下を証明せよ :
(1) 各 $t$ に対し, ある $x \in A$ により $P_t = (I : x)$ と表される.
(2) $A$ 加群 $A/I$ に対し, $A/I$ 零因子の全体は $P_1 \cup \cdots \cup P_s$ に等しい.RS009

動画コンテンツは以上だけではありませんで,
数学日誌 in YouTube

からご覧いただけます. また, 別館で過去に扱った問題につきましては, 当ブログのカテゴリ
別館のご案内
からもご覧いただけます.

 最後までご覧いただきありがとうございました. 今後ともご愛顧のほど, よろしくお願いいたします.
ランキング参加中です.

数学日誌別館のご案内(令和元年8月第1週)

 数学日誌別館をご愛顧いただきありがとうございます.

 5月の営業開始以来, 毎週その都度「テキスト版」をご紹介してきたわけですが, 8月から月額継続版を開始いたしました.
『龍孫江の数学日誌』別館 in note(継続購入版)

こちらのマガジンをご購読いただきますと, 毎月4回のテキスト版に加え, 更新ごとに note からも更新の通知が届きます. また不定期に雑感雑文などもお届けしたいと思っておりますので, どうぞご購読を検討ください.

 もちろん, テキストは週ごとのご購入も可能です. 今週のテキストはこちらからお求めいただけます :

数学日誌 in note令和元年8月第1週分(テキスト版)


8月5日(月) 群論:対角部分群と素の剰余群

<問題> $G$ を群, $d : G \to G \times G$ を対角部分群とする. 以下を証明せよ :
(1) $G$ の部分群 $H$ に対し, 以下は同値である :
 (a) $H$ は $G$ の中心に包まれる ;
 (b) $d(H)$ は $G \times G$ の正規部分群である.
(2) $G$ がアーベル群ならば, $G$ の部分群 $H$ に対し $$\frac{G \times G}{d(H)} \simeq (G/H) \times G. $$
GS007


8月6日(火) 環論:中山の補題

<問題> $(R, \mathfrak{m})$ を局所環とする.
(1) 有限生成 $R$ 加群 $M$ が $M = \mathfrak{m}M$ を充たせば $M = 0$ である. これを証明せよ.
(2) $R$ 加群 $M \ne 0$ で $M = \mathfrak{m}M$ を充たすものの例を挙げよ.
RS008


8月8日(木) 体論:体の相等2話

<問題> $K$ を体とする. 以下を証明せよ :
(1) $L = K(\alpha)$ が $K$ の $3$ 次拡大ならば $L = K(\alpha^2)$.
(2) $\alpha$, $\beta$ が $2$ 次既約多項式 $f(x) \in K[x]$ の根ならば $K(\alpha) = K(\beta)$.
KS005


8月9日(金):非ネーター的なアルティン加群, 再び

<問題> $\mathbb{Z}$ 加群 $Q := \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ を考える. 素数 $p$ に対して $$ E_p := \bigcup E_{p,n},~~~E_{p,n} = \frac{p^{-n}\mathbb{Z}}{\mathbb{Z}} \subset Q$$ とおく. 以下を証明せよ.
(1) $E_p$ の $\mathbb{Z}$ 部分加群は $E_{p,n}$ の形のものに限られる.
(2) $E$ はネーター的でないアルティン加群である.RS009

動画コンテンツは以上だけではありませんで,
数学日誌 in YouTube

からご覧いただけます. また, 別館で過去に扱った問題につきましては, 当ブログのカテゴリ
別館のご案内
からもご覧いただけます.

 最後までご覧いただきありがとうございました. 今後ともご愛顧のほど, よろしくお願いいたします.
ランキング参加中です.

数学日誌別館のご案内(令和元年7月第4週)

 数学日誌別館をご愛顧いただきありがとうございます. 今週の問題を振り返ってまいりましょう. 今週のテキストはこちらからお求めいただけます :

数学日誌 in note令和元年7月第4週分(テキスト版)


7月22日(月) 群論:位数 $2$ の正規部分群

<問題> $p$ を奇素数とする. 位数 $2p$ の群 $G$ が位数 $2$ の正規部分群をもてば $G$ は巡回群であることを示せ.
GS007


7月23日(火) 体論:有限体の拡大

<問題> $p$ を素数, $K = \mathbb{F}_p$ を $p$ 元体とする. 多項式 $$ f(x) = x^3 - x^2 - x - 1 \in K[x]$$ を考える. 以下の問いに答えよ:
(1) $p = 7$ のとき, $f(x)$ は既約か? 既約でないならば既約分解せよ.
(2) $f(x)$ が既約のとき, $f(x)$ の根 $\theta$ は $\theta^{p^2 + p + 1} = 1$ を充たすことを示せ.
RS008


7月25日(木) 群論:置換群の共役作用

<問題> $4$ 次対称群 $\mathfrak{S}_4$ の部分集合 $$X = \{ (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) \}$$ への $\mathfrak{S}_4$ の作用を $$ \sigma \cdot x := \sigma x \sigma^{-1},~~~\sigma \in \mathfrak{S}_4,~x \in X$$ で定める. 次の問いに答えよ :
(1) 上の定義が実際に作用となっていることを確かめよ.
(2) 上の作用が導く準同型 $\phi : \mathfrak{S}_4 \to \mathfrak{S}_3$ を通して, $ \mathfrak{S}_4 / H \simeq \mathfrak{S}_3$ を充たす正規部分群 $H$ を求めよ.
KS005


7月26日(金):非ネーター的なアルティン加群

<問題> $A$ を可換環とする. ネーター的でないアルティン $A$ 加群の例を挙げよ. RS009

動画コンテンツは以上だけではありませんで,
数学日誌 in YouTube

からご覧いただけます. また, 別館で過去に扱った問題につきましては, 当ブログのカテゴリ
別館のご案内
からもご覧いただけます.

 最後までご覧いただきありがとうございました. 今後ともご愛顧のほど, よろしくお願いいたします.
ランキング参加中です.

数学日誌別館のご案内(令和元年7月第3週)

 数学日誌別館をご愛顧いただきありがとうございます. 今週の問題を振り返ってまいりましょう. 今週のテキストはこちらからお求めいただけます :

数学日誌 in note令和元年7月第2週分(テキスト版)


7月15日(月) 群論:共役類を3つもつ群

<問題> 共役類をちょうど3個もつ有限群を総て求めよ.
GS007


7月16日(火) 体論:有理関数体のある不変体

<問題> 複素数体 $\mathbb{C}$ 上の1変数有理関数体 $\mathbb{C}(X)$ の $\mathbb{C}$ 自己同型 $$ \sigma (X) = \frac{1}{X},~~~\tau (X) = X \exp \frac{2 \pi i}{n}$$ を考える. 以下の問いに答えよ :
(1) $\sigma$, $\tau$ により生成される群 $G$ の位数を求めよ.
(2) 不変部分体 $\mathbb{C}(X)^G$ の $\mathbb{C}$ 上の生成元を求めよ.
RS008


7月18日(木) 群論:部分群の積

<問題> 群 $G$ の部分群 $H$, $K$ に対し $$ HK := \{ hk \mid h \in H, k \in K \}$$ とする. 以下を証明せよ :
(1) $HK$ が部分群である $\iff$ $HK = KH$.
(2) $H$, $K$ がともに $G$ の正規部分群ならば, $HK$ も $G$ の正規部分群である.
KS005


7月19日(金):UFDと多項式の積

<問題> $R$ を一意分解整域, $K$ をその分数体とする. $K$ 係数の多項式 $$f(x) = x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n,~~g(x) = x^m + b_1 x^{m-1} + \cdots + b_m$$ を考える. 積 $f(x)g(x)$ の係数が総て $R$ に属するならば, $f(x)$ および $g(x)$ の係数も総て $R$ に属することを示せ. RS009

動画コンテンツは以上だけではありませんで,
数学日誌 in YouTube

からご覧いただけます. また, 別館で過去に扱った問題につきましては, 当ブログのカテゴリ
別館のご案内
からもご覧いただけます.

 最後までご覧いただきありがとうございました. 今後ともご愛顧のほど, よろしくお願いいたします.
ランキング参加中です.
カテゴリー
記事検索
アクセスカウンター
  • 今日:
  • 昨日:
  • 累計: