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龍孫江の数学日誌

あらためてしっかり「数学書を読む」ブログです.

M.Atiyah-I.G.MacDonald『Introduction to Commutative Algebra』読了しました.
現在, 成田正雄『Unique Factorization Domains』講読中です。

環論:有限次元代数の非可換性

 こんにちは, 龍孫江です. 龍孫江の数学日誌, 本日は環論からこちらの問題をご紹介します.
[問題] 環 $A$ は可換体 $K$ を部分環にもつとする.以下の条件を充たす環 $A$ の例を挙げよ:
(1) $A$ は非可換な $K$ 多元環で $\dim_K A = 3$;
(2) $A$ は非可換環で $\dim_K A = 2$.

RS066:有限次元代数の非可換性
それでは, 動画をお楽しみください.

多元環については,こちらの動画でも詳しくお話ししています.

 本動画の内容をまとめた略解スライド版が『数学日誌 in note』からお求めいただけます. 今回限りのご購入は1回100円, 1か月分の継続講読は月1000円でございます. 毎週4回以上更新いたしますので, ご興味を感じられた方には継続講読を強くお勧めいたします. お代は龍孫江の数学活動の足しにいたします. どうぞ応援の意味も含め, ご購読をお願いします.

 最後までご覧いただきありがとうございました. 今後ともご愛顧のほど, よろしくお願いいたします.
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環論:実数体上2次元の多元環

 こんにちは, 龍孫江です. 龍孫江の数学日誌, 本日は環論からこちらの問題をご紹介します.
[問題] 実数体 $\mathbb{R}$ 上の多元環で $\dim_\mathbb{R} A = 2$ を充たすものを分類せよ.
RS065:実数体上2次元の多元環
それでは, 動画をお楽しみください.

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群論:有限アーベル群の総ての要素の積

 こんにちは, 龍孫江です. 龍孫江の数学日誌, 本日は群論からこちらの問題をご紹介します.
[問題] 有限アーベル群 $G$ について,以下の問いに答えよ.
[1] 次の写像 $i$ が群準同型であることを証明せよ:$$ i : G \longrightarrow G~~;~~x \longmapsto x^{-1}.$$ [2] $G$ の総ての要素の積 $m := \prod_{x \in G} x$ に対し,
 (a) $\sharp G$ が奇数のとき $m = 1$ を証明せよ.
 (b) $\sharp G$ が偶数の場合について例を挙げて述べよ.

GS056:有限アーベル群の総ての要素の積
それでは, 動画をお楽しみください.

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体論:標数2の体における2次多項式

 こんにちは, 龍孫江です. 龍孫江の数学日誌, 本日は体論からこちらの問題をご紹介します.
[問題] 標数 $2$ の体 $K$ 上の既約分離多項式 $$ f(T) = T^2 + aT + b$$ の根を $r$, $s$ とする.以下を証明せよ:
(1) $r$, $s \not\in K$, および $a \ne 0$.
(2) $r/s \not\in K$.

KS043:標数2における2次多項式

それでは, 動画をお楽しみください.

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群論:正規化群の正規化群

 こんにちは, 龍孫江です. 龍孫江の数学日誌, 本日は群論からこちらの問題をご紹介します.
[問題] $G$ を有限群とし,$G$ の部分群 $H$ の正規化群を $N(H)$ で表す.以下の問いに答えよ:
(1) $p$ を $\sharp G$ の素因数,$P$ を $G$ の $p$ シロー部分群とするとき,$N(N(P)) = N(P)$ を証明せよ.
(2) $N(N(H)) \ne N(H)$ なる $G$ と $H$ の例を挙げよ.

GV055:正規化群の正規化群

それでは, 動画をお楽しみください.

 本日の動画のポイントとして挙げた Sylow の定理 は,以下の3本の動画で証明しています.よろしければご覧ください.

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