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龍孫江の数学日誌

龍孫江が主に数学について気ままにお話しています.現在は 龍孫江の数学日誌in YouTubeの更新告知がほとんどですが,もう少しオリジナル記事を増やしたいと考えています.連載「はじめての可換環」は毎週日曜日更新です.どうぞご贔屓に.

群論:あみだくじの2つの読み方

 こんにちは, 龍孫江です.龍孫江の数学日誌,本日は群論からこちらの問題をご紹介します.
[問題] $(G,\cdot)$ を群とする.集合 $G$ のもう1つの演算 $\times$ を
$a \times b = b \cdot a$ ($a, b \in G$)
で定める.以下の問いに答えよ.
(1) $G$ は $\times$ を演算として群をなすことを確かめよ.
(2) 2つの群 $(G, \cdot)$ と $(G, \times)$ は同型であることを示せ.
(3) 始点と終点で同じ順に番号が振られたあみだくじ $X$ が
始点 $k$ から $X$ をたどると $\sigma(k)$ に至る
となるとき,$X$ は置換 $\sigma$ のあみだくじによる表現と呼ぶことにする.置換 $(1,2)(2,3)$ と $(1,2) \times (2,3)$ をあみだくじにより表現せよ.

GS219:あみだくじの2つの読み方
それでは,動画をお楽しみください.

 本動画の内容をまとめた略解スライド版が『数学日誌 in note』からお求めになれます.今回限りのご購入は1回100円,1か月分の継続講読は月1000円でございます.毎月10回以上更新いたしますので,ご興味のある方には継続講読を強くお勧めいたします.お代は龍孫江の数学活動の足しにいたします.どうぞ応援の意味も含め,ご購読をお願いします.

 最後までご覧いただきありがとうございました. 今後ともご愛顧のほど, よろしくお願いいたします.
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環論:完全列の言い換え

 こんにちは, 龍孫江です.龍孫江の数学日誌,本日は環論からこちらの問題をご紹介します.
[問題] 環 $R$ 上の加群と $R$線型写像からなる系列
(*) $X \overset{f}{\longrightarrow} Y \overset{g}{\longrightarrow} Z$
に対し,以下が同値であることを証明せよ.
  1. (*) は完全,すなわち $\operatornaem{im} f = \ker g$.
  2. $f(\ker g \circ f) = g^{-1}(\operatornaem{im} g \circ f)$.

RS240:完全列の言い換え
それでは,動画をお楽しみください.

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群論:部分群とその交叉の指数

 こんにちは, 龍孫江です.龍孫江の数学日誌,本日は群論からこちらの問題をご紹介します.
[問題] 群 $G$ の正規部分群 $H$, $K$ に対し$$m = [G:H]$, $n = [G :K]$, $l = [G : H\cap K]$$とおく.以下を証明せよ.
(1) $x, y \in G$ に対し,$xH \cap yK$ が空でなければ $H \cap K$ による剰余類である.
(2) $l$ は積 $mn$ の約数である.
(3) $l = mn \iff G = HK$.

GS218:部分群とその交叉の指数
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環論:環拡大の相等性

 こんにちは, 龍孫江です.龍孫江の数学日誌,本日は環論からこちらの問題をご紹介します.
[問題] $\alpha = \sqrt{2}$, $\beta = \sqrt{3}$ および $\gamma = \sqrt{2} + \sqrt{3}$ とする.
(1) $\mathbb{Q} (\alpha, \beta) = \mathbb{Q}(\gamma)$ を証明せよ.
(2) $\gamma$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式を求めよ.
(3) $\mathbb{Z}[\alpha, \beta] = \mathbb{Z}[\gamma]$ は成り立つか,証明または反証せよ.

RS239:環拡大の相等性
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群論:有理数のなす加法群

 こんにちは, 龍孫江です.龍孫江の数学日誌,本日は群論からこちらの問題をご紹介します.
[問題] 有理数のなす集合 $G$ を次で定める:$$G = \{ x = a/b \in \mathbb{Q} \mid a,b \in \mathbb{Z},~(b,10) = 1 \}.$$以下の問いに答えよ.
(1) $G$ は $\mathbb{Q}$ の部分群であることを示せ.
(2) $G$ は $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ と同型な部分群をもたないことを示せ.
(3) $G$ の剰余群で位数3, 5のものは存在するか?

GS217:有理数のなす加法群
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