環論：極大イデアルの計算

　こんにちは, 龍孫江です．龍孫江の数学日誌，本日は環論からこちらの問題をご紹介します．

[問題] 素数 $p$ に対し，有理数全体 $\mathbb{Q}$ の部分集合

• $R := \{ \frac{n}{m} \mid m,n \in \mathbb{Z},~n \not\in p \mathbb{Z} \}$
• $M := \{ \frac{n}{m} \mid m,n \in \mathbb{Z},~n \not\in p \mathbb{Z},~n \in p \mathbb{Z} \}$

を考える．以下を証明せよ．
(1) $R$ は $\mathbb{Q}$ の部分環である．
(2) $M$ は $R$ の極大イデアルである．
(3) $R \setminus M$ は $R$ の可逆元全体である．
(4) $M$ は $R$ の唯一の極大イデアルである．

それでは，動画をお楽しみください．

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群論：積の位数の計算

　こんにちは, 龍孫江です．龍孫江の数学日誌，本日は群論からこちらの問題をご紹介します．

[問題] (1) 位数 $n$ の巡回群を $C_n$ で表す．正整数 $m, n$ が互いに素のとき，同型 $C_m \times C_n \simeq C_{mn}$ を証明せよ．
(2) 群 $G$ の要素 $x$ の位数を $\operatorname{ord} x$ で表す．$x, y \in G$ が

(i) $x$ と $y$ は可換，(ii) $\langle x \rangle \cap \langle y \rangle = \{1\}$

をみたすとき，$\operatorname{ord}(xy) = \operatorname{LCM} (\operatorname{ord} x, \operatorname{ord} y)$ を証明せよ．
(3) (2) の条件 (i), (ii) のうち一方のみが成り立たない場合で，等式 $\operatorname{ord}(xy) = \operatorname{LCM} (\operatorname{ord} x, \operatorname{ord} y)$ が成立しない例を挙げよ．

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群論：群の可解性３題

　こんにちは, 龍孫江です．龍孫江の数学日誌，本日は群論からこちらの問題をご紹介します．

[問題] 以下を証明せよ．
(1) $G, H$ を群，$f : G \to H$ を全射準同型とする．$G$ が可解ならば $H$ も可解である．
(2) $G$ を群，$N$ を $G$ の正規部分群とする．$N$ と $G/N$ がともに可解ならば $G$ も可解である．
(3) $p > q$ を素数とするとき，位数 $pq$ の群 $G$ は可解である．

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環論：-1の平方根を添加する

　こんにちは, 龍孫江です．龍孫江の数学日誌，本日は環論からこちらの問題をご紹介します．

[問題] (1) $\mathbb{Z}[T]/(T^2-1)$, $\mathbb{Z}[T]/(T^2+1)$ は整域か判定せよ．
(2) 奇素数 $p$ に対し，$\mathbb{Z}[T]$ のイデアルの関係 $\left( T^{p^2-1} - 1 \right) \subset (T^2 + 1)$ を示せ．
(3) 奇素数 $p$ に対し，自然な全射 $\mathbb{Z}[T] \to \mathbb{Z}[T]/(p, T^2+1)$ による $a \in \mathbb{Z}$ および $T$ の像を $\bar{a}$, $\bar{T}$ と表す．このとき

任意の $a, b \in \mathbb{Z}$ に対し $(\bar{a} \bar{T} + \bar{b})^p = \bar{a} \bar{T} + \bar{b}$

が成立するための $p$ の条件を求めよ．
(4) $\mathbb{Z}[T]/(p, T^2+1)$ が整域であるための $p$ の条件を求めよ．

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群論：位数がpで割り切れない要素

`　こんにちは, 龍孫江です．龍孫江の数学日誌，本日は群論からこちらの問題をご紹介します．

[問題] $p$ を素数，$G$ を有限群，$P$ を $G$ の $p$シロー群とする．また，$G$ の要素で位数が $p$ と素であるものの全体を $L$ とする．以下を証明せよ．
(1) $K$ は $G$ の正規部分群で，位数が $p$ と素であるとする．さらに $G = PK$ が成り立つとき，$K= L$ である．
(2) $L$ が $G$ の部分群ならば $L$ は正規部分群で，さらに $G = PL$ が成り立つ．

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