群論：直積の部分群２種

`　こんにちは, 龍孫江です．龍孫江の数学日誌，本日は群論からこちらの問題をご紹介します．

[問題] $G, H$ を群，$f : G \to H$ を群の全射準同型とする．以下を証明せよ．
(1) $L \le G$ に対し $L \ker f = \{ ax \mid a \in L, x \in \ker f \}$ は $G$ の部分群で，$L \ker f = f^{-1}(f(L))$ が成り立つ．
(2)$M \le G$ に対し $\Gamma (M) := \{ (x, f(x)) \mid x \in M \}$ は $G \times H$ の部分群で，$\Gamma(G) / \Gamma(\ker f) \simeq H$ が成り立つ．
(3) 正規部分群 $N \subset G$ に対し $\Delta (N) := N \times f(N)$ は $G \times H$ の正規部分群で，$(G \times H)/\Delta(\ker f) \simeq H \times H$ が成り立つ．

それでは，動画をお楽しみください．

　本動画の内容をまとめた略解スライド版が『数学日誌 in note』からお求めになれます．１回100円でございます．お代は龍孫江の数学活動の足しにいたします．どうぞ応援の意味も含め，ご購読をお願いします．

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体論：中への同型を数える

　こんにちは, 龍孫江です．龍孫江の数学日誌，本日は体論からこちらの問題をご紹介します．

[問題] (1) $\mathbb{Q}[X]/(X^2 + aX + 6)$ が体にならない整数 $a$ を求めよ．
(2) $\mathbb{Q}[X]/(X^2 + 2X + 6)$ が $\mathbb{Q}$ のガロア拡大であることを示し，そのガロア群を求めよ．
(3) $R = \mathbb{Q}[X,Y]/(X^2 + aX + 6)$ の $(0)$ ではない素イデアルは極大イデアルであることを示せ．
(4) $R$ を (3) の通りとし，$\mathfrak{m}$ を $R$ の極大イデアルとする．さらに，体としての中への同型 $f : R/\mathfrak{m} \to \mathbb{C}$ 全体を $A$ とするとき，$A$ は空でない有限集合であることを証明せよ．

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群論：５次交代群の５シロー群

　こんにちは, 龍孫江です．龍孫江の数学日誌，本日は群論からこちらの問題をご紹介します．

[問題] $G = \mathfrak{A}_5$ を５次交代群，$P$ を $G$ の５シロー群とする．また，$P$ の $G$ における正規化群を＄$N_G(P) = \{ g \in G \mid gPg^{-1} = P \}$$と表す．
(1) $G$ の５シロー群 $Q$ で $Q \ne P$ なるものが存在することを示せ．
(2) $G$ における $N_G(P)$ の指数 $[G : N_G(P)]$ を求めよ．
(3) $G$ の位数５の要素の数を求めよ．
(4) 単位元ではない $u, v \in P$ と $g \in G$ に対し

$v = gug^{-1}$ $\Rightarrow$ $g \in N_G(P)$

を証明せよ．}

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環論：準素イデアルとイデアル商

　こんにちは, 龍孫江です．龍孫江の数学日誌，本日は環論からこちらの問題をご紹介します．

[問題] $R$ を可換ネーター環，$I$ を $R$ のイデアルとする．$x \in R$ に対し$$(I:x) := \{ a \in R \mid ax \in I \}$$と定める．以下の問いに答えよ．
(1) $(I : x)$ は $R$ のイデアルとなることを示せ．
(2) 整数 $n > 0$ に対し，$(I : x^n)$ と $(I : x^{n+1})$ の間に包含関係があるか？
(3) 充分大きな整数 $n$ に対し $(I : x^n) = (I : x^{n+1})$ を示せ．
(4) $I = Q_1 \cap \cdots Q_r$ を $I$ の準素分解とし，$P_t = \sqrt{Q_t}$ とおく．$x \in P_1$ かつ $ x \not\in P_2 \cup \cdots \cup P_r$ のとき，充分大きな整数 $n$ に対し $(I : x^n)$ を準素分解せよ．

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群論：交代群における正規化群

　こんにちは, 龍孫江です．龍孫江の数学日誌，本日は群論からこちらの問題をご紹介します．

[問題] 以下の問いに答えよ：
(1) $G$ が群，$N$ が $G$ の正規部分群で $p := [G : N]$ は素数とする．$G$ の部分群 $H \not\subset N$ に対し，$[H : H \cap N] = p$ を示せ．
(2) $G = \mathfrak{A}_7$ を７次交代群とする．$\sigma = (1~2~3~4~5~6~7)$ とし，$H = \langle \sigma \rangle$ の $G$ における正規化群$$N_G(H) = \{ \tau \in G \mid \tau H \tau^{-1} = H \}$$の生成系を１組求めよ．

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