体論：中への同型を数える

　こんにちは, 龍孫江です．龍孫江の数学日誌，本日は体論からこちらの問題をご紹介します．

[問題] (1) $\mathbb{Q}[X]/(X^2 + aX + 6)$ が体にならない整数 $a$ を求めよ．
(2) $\mathbb{Q}[X]/(X^2 + 2X + 6)$ が $\mathbb{Q}$ のガロア拡大であることを示し，そのガロア群を求めよ．
(3) $R = \mathbb{Q}[X,Y]/(X^2 + aX + 6)$ の $(0)$ ではない素イデアルは極大イデアルであることを示せ．
(4) $R$ を (3) の通りとし，$\mathfrak{m}$ を $R$ の極大イデアルとする．さらに，体としての中への同型 $f : R/\mathfrak{m} \to \mathbb{C}$ 全体を $A$ とするとき，$A$ は空でない有限集合であることを証明せよ．

それでは，動画をお楽しみください．

　本動画の内容をまとめた略解スライド版が『数学日誌 in note』からお求めになれます．１回100円でございます．お代は龍孫江の数学活動の足しにいたします．どうぞ応援の意味も含め，ご購読をお願いします．

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体論：有理式体の部分体

　こんにちは, 龍孫江です．龍孫江の数学日誌，本日は体論からこちらの問題をご紹介します．

[問題] $L = \mathbb{Q}(X)$ を有理数係数の１変数有理式体，

$K = \mathbb{Q}(Y)$，ここで $Y = X^2 + \frac{1}{X^2}$

とする．以下の問いに答えよ．
(1) $X$ の $K$ 上の最小多項式を求め，$L/K$ がガロア拡大であることを確かめよ．
(2) ガロア群 $G(L/K)$ を決定し，$L/K$ の中間体をすべて求めよ．
(3) $F = \mathbb{Q} \left( X^3 + \frac{1}{X^3} \right)$ とする．$L/F$ はガロア拡大か？

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体論：有限体上の行列の冪

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[問題] ５元体 $\mathbb{F}_5$ 上の行列 $$M = \begin{pmatrix} 1 & a \\ a & 0 \end{pmatrix},~~~I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$を考える．以下の問いに答えよ．
(1) $c \in \mathbb{F}_5$ に対し，$cI + M$ の固有多項式を求めよ．
(2) $M$ が $\mathbb{F}_5$ に含まれない固有値をもつような $a$ をすべて求めよ．\vs1
(3) (2) で求めた $a$ に対し，$(cI + M)^6 = I$ となる $c$ をすべて求めよ．

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体論：１の原始2023乗根

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[問題] $\zeta = \exp \left( \frac{2 \pi i}{2023} \right)$ を $1$ の原始2023乗根，$K = \mathbb{Q}(\zeta)$ とする．以下の問いに答えよ．
(1) $\zeta$ の $\mathbb{Q}$ の共役の個数を求めよ．
(2) ガロア群 $G = G(K/\mathbb{Q})$ の型を決定せよ．

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体論：多項式の分解と最小分解体

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[問題] (1) 多項式 $T^8 + T^4 + 1$ は $T^2 + T + 1$ で割り切れることを確かめよ．
(2) 自然数 $n$ で，多項式 $T^{2n} + T^n + 1$ が $T^2 + T + 1$ で割り切れるものを総て求めよ．
(3) 多項式 $T^8 + T^4 + 1$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体 $K$ と，その拡大次数を求めよ．

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