前回の 可換環の次元・深度とビッグマック予想 は大勢の方にご覧頂き, 大変ありがとうございました. 今回は, その一節にあった「パラメーター系のレシピ」に沿ってパラメーター系を構成し, ついでに コーエン・マコーレーでない可換環の例 を見つけたいと思います. 薄々お察しの方もいらっしゃるかもしれませんが, 前回はごつい記事でしたので, 今回は軽めのお話でご機嫌を伺おうというわけです.
いくつか記号を注意しておきます. $\mathrm{Spec}~A/I$ は $A$ の $I$ を包む素イデアルの全体とほぼ同一視でき, また同一視するのですが, 一方で「$\mathrm{Spec}~A/I$ を $\mathrm{Spec}~A$ の部分集合だ」と割り切って断言することは稀かもしれません. 一般に $I$ を包む素イデアルの全体は $V(I)$ と書かれることが多いのですが, 前回はそれ以下の記号との類似が欲しかったのであえて $\mathrm{Spec}~A/I$ と表しました.
$I$ の素因子とは, 今回は $I$ の準素成分の根基である素イデアルと定義するのが良いでしょう. ネーター環のイデアルは全て準素分解を持つので, $\mathrm{Ass}_A(A/I)$ は有限集合です.
この構成法により, $(A,\mathfrak{m})$ の正則列はパラメーター系の条件を充たすことが分かります. 特に $A$ の正則列の長さの最大値を $A$ の 深度 と呼び $\mathrm{depth}~A$ と表せば, $$ \mathrm{depth}~A \le \dim A$$ が成り立ちます.
例 3. $k$ を体とし, $R = k[X,Y]/(XY)$ とおく. $X$, $Y$ の像を $x$, $y$ と表すと, $R$ の零イデアルの準素分解は $(0) = (x) \cap (y)$ となる. 特に $$ \mathrm{Ass}_R(R) = \mathrm{Assh}_R(R) = \{ (x), (y) \}$$ なので, $$ x+y \in (x,y) \setminus \{ (x) \cup (y) \}$$ は $R$ のパラメーター系かつ正則元である. 実際, $R$ のイデアル $(x-y)$ は $$ x^2 = x \cdot (x+y),~~~~y^2 = y \cdot (x+y)$$ をともに含むので $\sqrt{(x+y)} = \mathfrak{m}$, ゆえに $(x+y)$ は $(x,y)$ 準素イデアルである. またパラメーター系が正則列をなすことから $R$ はコーエン・マコーレー的である.
例 4. $k$ を体とし, $R = k[X,Y,Z]/(XY, XZ)$ とおく. $X$, $Y$, $Z$ の像をそれぞれ $x$, $y$, $z$ と表す. $R$ の零イデアルは $(0) = (x) \cap (y, z)$ と分解されるので $\mathrm{Ass}_R R = \{ (x), (y,z)\}$ となる. ここで
(1個目) $z \in (x,y,z) \setminus (x)$ をとる. このとき, $$ R/(z) \simeq k[X,Y,Z]/(XY,XZ, Z) \simeq k[X,Y]/(XY).$$(2個目) 例 3 を踏まえれば $\mathrm{Ass}_R(R/(z)) = \{ (x,z), (y,z) \}$ なので, $x+y \in (x,y,z) \setminus \{ (x,y) \cup (x,z) \}$ をとる.
この列 $z, x+y$ が生成する $R$ のイデアル $(z, x+y)$ を考えると, 例 2 と同様に $$x^2 = x \cdot (x+y),~~~y^2 = y \cdot (x+y),~~~ z = z$$ はそれぞれ $(z, x+y)$ に含まれる, 特に $(z, x+y)$ は $(x,y,z)$ 準素イデアルである.
($R$ がマコーレー的でないこと) $z$ が $R$ 零因子であることは定義から明らかだが, それでは深度が $0$ なのか $1$ なのか分かりません. そこで, 列をひっくり返して $x+y, z$ について考えます.
$x+y$ は素因子 $(x)$, $(y+z)$ のいずれにも属さないので非零因子である. ここで $$ R/(x+y) \simeq k[X,Y,Z]/(XY, XZ, X+Y)$$ なので, $z$ は $R/(x+y)$ 非零因子ではない. 特に, $\mathrm{depth}~R = 1$ である.
以上により, $\mathrm{depth}~R = 1$, $\dim R = 2$ なので $R$ はマコーレー的ではないことがわかりました.
この例を見ていると, 次の問題が気になります. また話題がないときにでもこの問題を解説するかもしれませんが, とりあえずは問題といたします.
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パラメーター系のレシピ再録
まずはパラメーター系のレシピをおさらいしておきましょう. ネーター局所環 $(A,\mathfrak{m})$ とそのイデアル $I$ に対し,- $\mathrm{Spec}~A/I$ : $I$ を包む $A$ の素イデアルの全体,
- $\mathrm{Ass}_A(A/I)$ : $I$ の素因子 (準素成分の根基) の全体,
- $\mathrm{Min}_A(A/I)$ : $I$ の極小素因子 (包含関係に関して極小な素因子) の全体,
- $\mathrm{Assh}_A(A/I)$ : $I$ の素因子 $\mathfrak{p}$ で $\dim A/I = \dim A/\mathfrak{p}$ を充たすものの全体.
いくつか記号を注意しておきます. $\mathrm{Spec}~A/I$ は $A$ の $I$ を包む素イデアルの全体とほぼ同一視でき, また同一視するのですが, 一方で「$\mathrm{Spec}~A/I$ を $\mathrm{Spec}~A$ の部分集合だ」と割り切って断言することは稀かもしれません. 一般に $I$ を包む素イデアルの全体は $V(I)$ と書かれることが多いのですが, 前回はそれ以下の記号との類似が欲しかったのであえて $\mathrm{Spec}~A/I$ と表しました.
$I$ の素因子とは, 今回は $I$ の準素成分の根基である素イデアルと定義するのが良いでしょう. ネーター環のイデアルは全て準素分解を持つので, $\mathrm{Ass}_A(A/I)$ は有限集合です.
命題 1 (パラメーター系のレシピ). $d$ 次元ネーター局所環 $(A,\mathfrak{m})$ のパラメーター系 $x_1, \ldots, x_d$ は次のように帰納的に構成される : $x_1, \ldots, x_j$, $j < d$, まで構成されたとき $$x_{j+1} \in \mathfrak{m} \setminus \left( \bigcup_{\mathfrak{p} \in \mathrm{Assh}_A A/(x_1, \ldots, x_j)} \mathfrak{p} \right)$$をとる.
また上式において $x_{j+1}$ をどの $\mathrm{Ass}_A(A/(x_1,\ldots,x_j)$ にも属さないようにとれば, 正則列が得られる.
この構成法により, $(A,\mathfrak{m})$ の正則列はパラメーター系の条件を充たすことが分かります. 特に $A$ の正則列の長さの最大値を $A$ の 深度 と呼び $\mathrm{depth}~A$ と表せば, $$ \mathrm{depth}~A \le \dim A$$ が成り立ちます.
定義 2 (コーエン・マコーレー環). ネーター局所環 $(A, \mathfrak{m})$ が $\mathrm{depth}~A = \dim A$ を充たすとき, コーエン・マコーレー的 という.
例 3. $k$ を体とし, $R = k[X,Y]/(XY)$ とおく. $X$, $Y$ の像を $x$, $y$ と表すと, $R$ の零イデアルの準素分解は $(0) = (x) \cap (y)$ となる. 特に $$ \mathrm{Ass}_R(R) = \mathrm{Assh}_R(R) = \{ (x), (y) \}$$ なので, $$ x+y \in (x,y) \setminus \{ (x) \cup (y) \}$$ は $R$ のパラメーター系かつ正則元である. 実際, $R$ のイデアル $(x-y)$ は $$ x^2 = x \cdot (x+y),~~~~y^2 = y \cdot (x+y)$$ をともに含むので $\sqrt{(x+y)} = \mathfrak{m}$, ゆえに $(x+y)$ は $(x,y)$ 準素イデアルである. またパラメーター系が正則列をなすことから $R$ はコーエン・マコーレー的である.
非コーエン・マコーレー環の例
引き続き, 次元をひとつ増やした例を考えましょう. 次の例は, コーエン・マコーレー的では ない 例にもなっています.例 4. $k$ を体とし, $R = k[X,Y,Z]/(XY, XZ)$ とおく. $X$, $Y$, $Z$ の像をそれぞれ $x$, $y$, $z$ と表す. $R$ の零イデアルは $(0) = (x) \cap (y, z)$ と分解されるので $\mathrm{Ass}_R R = \{ (x), (y,z)\}$ となる. ここで
- $R/(x) = k[y,z]$ ($2$変数多項式環 : $2$ 次元),
- $R/(y,z) = k[x]$ ($1$変数多項式環 : $1$次元)
(1個目) $z \in (x,y,z) \setminus (x)$ をとる. このとき, $$ R/(z) \simeq k[X,Y,Z]/(XY,XZ, Z) \simeq k[X,Y]/(XY).$$(2個目) 例 3 を踏まえれば $\mathrm{Ass}_R(R/(z)) = \{ (x,z), (y,z) \}$ なので, $x+y \in (x,y,z) \setminus \{ (x,y) \cup (x,z) \}$ をとる.
この列 $z, x+y$ が生成する $R$ のイデアル $(z, x+y)$ を考えると, 例 2 と同様に $$x^2 = x \cdot (x+y),~~~y^2 = y \cdot (x+y),~~~ z = z$$ はそれぞれ $(z, x+y)$ に含まれる, 特に $(z, x+y)$ は $(x,y,z)$ 準素イデアルである.
($R$ がマコーレー的でないこと) $z$ が $R$ 零因子であることは定義から明らかだが, それでは深度が $0$ なのか $1$ なのか分かりません. そこで, 列をひっくり返して $x+y, z$ について考えます.
$x+y$ は素因子 $(x)$, $(y+z)$ のいずれにも属さないので非零因子である. ここで $$ R/(x+y) \simeq k[X,Y,Z]/(XY, XZ, X+Y)$$ なので, $z$ は $R/(x+y)$ 非零因子ではない. 特に, $\mathrm{depth}~R = 1$ である.
以上により, $\mathrm{depth}~R = 1$, $\dim R = 2$ なので $R$ はマコーレー的ではないことがわかりました.
この例を見ていると, 次の問題が気になります. また話題がないときにでもこの問題を解説するかもしれませんが, とりあえずは問題といたします.
問題. コーエン・マコーレー的でない整域を構成せよ.
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