2007年01月

2007年01月28日

(AB)^2=A^2B^2⇒AB=BA?(解答編)

前回の問題の一応の答えを書いておきます。ただ、いくつか例を見つけただけで、全く満足のいく結果ではありません。

はじめに見つけた例は次のものです。

070128-1.png











ただ、これはAもBも逆行列をもたないですし、AB=Oというのも少々特殊すぎる気がします。


次はこれです。

070128-2.png











これでAB=Oでない例が作れましたが、まだAもBも逆行列をもちません。


前回注意したようにAもBも逆行列をもつような例はありません。
片方が逆行列をもつような例を作ってみると次の例がありました。

070128-3.png











何かいい理解の方法があるような気がしますが、私には分かりません。
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seven_triton at 13:48|PermalinkComments(5) 大学入試問題 

2007年01月20日

(AB)^2=A^2B^2⇒AB=BA?(問題編)

高校生が行列をはじめに学ぶときに注意しなければならない点が、掛け算に関して実数のそれと異なる以下のような点です。

・一般に交換可能ではない
・したがって、(A+B)^2の展開公式なども実数のそれとは異なる
・零行列でないもの同士の積で零行列になることもある(零因子の存在)
・したがって、一般に「約分」は出来ない

しかしもし行列AとBが交換可能であるなら、足し算、掛け算に関しては実数のときと同じような規則で計算でき、例えば

(AB)^2=A^2B^2

などは成り立ちます。

さて、先日ふと「その逆は成り立つか?」ということを疑問に思いました。つまり、


『(AB)^2=A^2B^2 が成立するならば、AとBは交換可能か?』


上に書いたように、AとBが交換可能ならば (AB)^2=A^2B^2 は成り立つので、これは自然な疑問だと思います。

簡単に分かるように、もしAとBが逆行列をもつならば、(AB)^2=A^2B^2 の両辺に左からA^{-1}を、右からB^{-1}をかけることによって BA=AB となり、AとBが交換可能だということになります。

したがって問題は、AとBのうち少なくとも一方が逆行列をもたないときにどうか、ということになります。

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seven_triton at 12:59|PermalinkComments(2) 大学入試問題 

2007年01月18日

sin1°は有理数か。2

070118-1.png




という事実はチェビシェフ多項式を用いて簡単に示されます。

変数の取替えによって、sinに関しても同様の結果を得ます。
070118-2.png





前記事「sin1°は有理数か。」にある結論

「sin1°は無理数である」
「cos1°は無理数である」

はこの結果に含まれることになります。


これをtanに関しても考えるとどうなるか、ということを同僚の講師に質問されました。

それからいろいろ考えて、6日後にやっと解決しました。去年の年末のことです。

結論は、はじめからある程度予想していた通り、以下のようになりました。

070118-3.png





長い間考えた末に問題が解けたというすがすがしい気持ちで新年を迎えたわけですが、よりによって元旦に、ネットサーフィンしていて上の問題の別解を見つけてしまいました。これは全く盲点でした。

070118-4.png






















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seven_triton at 00:27|PermalinkComments(5) 大学入試問題 

2007年01月17日

曲線に引ける接線の本数

高1の授業で、ある3次関数のグラフに3本の接線が引けるような点の存在範囲を図示せよ、という問題をやりました。

解説が終わった後に、1本しか引けない点と2本引ける点の存在範囲がもとのグラフと変曲点における接線とで仕切られるという話をしたとき、ふと自分が高3のときに高校の試験でこれの4次関数の場合があったことを思い出して、「4次だとこんなふうになります」と言って図を描いてはみたものの、実はすごく面倒だということに気づきました。

講師室に帰ってからちゃんと考えてみると、次の図のようになりました。変曲点が2つあるような4次のグラフなら本質的に全部同じです。

070117-1.png

















接点の個数で分類するならまだましですし綺麗ですが、高校数学では二重接線は1本と数えるのでさらに面倒になっています。
たしか高3のときの先生の解答は二重接線を考慮していなかったように思います。

ちなみに、4本引けるような点の存在範囲の図示は、90年の京大後期で出題されています。
これを1本とか2本とか3本とかに変えたらすごいことになってしまいますね。


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seven_triton at 01:12|PermalinkComments(3) 大学入試問題