2013年09月21日

Identric mean と Logarithmic mean (1)

今日は,Identric meanLogarithmic mean という2つの平均を紹介します。

log の積分と区分求積法を用いますので,数IIIの積分を一通りやった人向けです。

(今回の内容は以前書いたものですが,MathJaxを用いて書き直しました。また内容的にも,次回以降増補する予定です。)


$a_1,\,a_2,\cdots,a_n$を正の実数とします。以下の3つの平均は有名です。

  • 相加平均(算術平均,Arithmetic mean)

  • \[\frac1{n}\sum_{k=1}^{n}a_k=\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\]
  • 相乗平均(幾何平均,Geometric mean)

  • \[\left(\prod_{k=1}^{n}a_k\right)^{\frac1{n}}=\sqrt[\uproot{1}\leftroot{3}n]{a_1a_2\cdots a_n}\]
  • 調和平均(Harmonic mean)

  • \[\frac{n}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1{a_k}}=\frac{n}{\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots +\frac1{a_n}}\]




そして,これらの間には以下の関係があるのでした。

\[\begin{array}{ccccc}
調和平均&\leqq&相乗平均&\leqq&相加平均\\
\frac{n}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac1{a_k}}&\leqq&\left(\prod_{k=1}^{n}a_k\right)^{\frac1{n}}&\leqq&\frac1{n}\sum_{k=1}^{n}a_k
\end{array}\]



以下,この不等式を「$H\leqq G\leqq A$」と表すことにします。


さて,$0 < a < b$として,区間$[a,\,b]$を考えます。

まず,この区間を,$x_0=a,\ x_n=b$をみたす等差数列$\{x_k\}$で「分割」します。
\[x_k=a+\frac{b-a}{n}k\quad (k=0,\,1,\cdots ,n)\]

この$n+1$個の数に対して,$H\leqq G\leqq A$を考えると,
\begin{align*}
\frac{n+1}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac1{a+\frac{b-a}{n}k}}&\leqq\left\{\prod_{k=0}^{n}\left(a+\frac{b-a}{n}k\right)\right\}^{\frac1{n+1}}\\
&\leqq\frac1{n+1}\sum_{k=0}^{n}\left(a+\frac{b-a}{n}k\right)
\end{align*}
となります。

まず$A$(最右辺)ですが,これは実際にシグマ計算した結果,$\frac{a+b}2$となります。
これは数列$\{x_k\}$の作り方から,直観的にも明らかでしょう。


次に$G$と$H$ですが,これらは計算できません。しかし,$n\to\infty$とすれば区分求積法で計算できます。
$G$に関しては,まず対数を取ってから計算します。

\begin{align*}
&\lim_{n\to\infty}\log\left\{\prod_{k=0}^{n}\left(a+\frac{b-a}{n}k\right)\right\}^{\frac1{n+1}}\\
={}&\lim_{n\to\infty}\frac1{n+1}\sum_{k=0}^{n}\log\left(a+\frac{b-a}{n}k\right)\\
={}&\int_0^1\log\left\{a+(b-a)x\right\}dx\\
={}&\frac1{b-a}\int_a^b\log tdt\quad\text{($a+(b-a)x=t$とした)}\\
={}&\frac1{b-a}\Bigl[t\log t -t\Bigr]_a^b\\
={}&\frac1{b-a}\left\{b\log b-a\log a-(b-a)\right\}\\
={}&\log b^{\frac{b}{b-a}}-\log a^{\frac{a}{b-a}}-1\\
={}&\log\left(\frac{a^{\frac{a}{a-b}}b^{\frac{b}{b-a}}}{e}\right)
\end{align*}
よって,
\[\lim_{n\to\infty}\left\{\prod_{k=0}^{n}\left(a+\frac{b-a}{n}k\right)\right\}^{\frac1{n+1}}=\frac{a^{\frac{a}{a-b}}b^{\frac{b}{b-a}}}{e}\]



これに比べると$H$の極限の計算は楽です。

\begin{align*}
&\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac1{a+\frac{b-a}{n}k}}\\
={}&\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac1{n+1}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac1{a+\frac{b-a}{n}k}}\\
={}&\frac1{\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{a+(b-a)x}}\\
={}&\frac1{\frac1{b-a}\displaystyle\int_a^b\frac{dx}{t}}\quad\text{($a+(b-a)x=t$とした)}\\
={}&\frac{b-a}{\Bigl[\log t\Bigr]_a^b}\\
={}&\frac{b-a}{\log b-\log a}
\end{align*}




これで,以下の不等式が証明できました。

\[\large\displaystyle\frac{b-a}{\log b-\log a}\ \leqq\ \frac{a^{\frac{a}{a-b}}b^{\frac{b}{b-a}}}{e}\ \leqq\ \displaystyle\frac{a+b}2\]



ここに現れた$\frac{a^{\frac{a}{a-b}}b^{\frac{b}{b-a}}}{e}$と$\frac{b-a}{\log b-\log a}$のことを,それぞれ,$a$と$b$の Identric meanLogarithmic mean と言います。


\[\begin{array}{ccccc}
\text{Logarithmic mean}&\leqq&\text{Identric mean}&\leqq&相加平均\\
\displaystyle\frac{b-a}{\log b-\log a}&\leqq&\frac{a^{\frac{a}{a-b}}b^{\frac{b}{b-a}}}{e}&\leqq&\frac{a+b}2
\end{array}\]



次回に続きます。


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seven_triton at 15:00│Comments(4)TrackBack(0) いろいろな「平均」 | 不等式

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この記事へのコメント

1. Posted by Nek   2013年09月25日 19:11
細かいことですが、区間[a,b]を考えたあとの等差数列は{a_n}ではなく{x_n}ではないでしょうか。
次回楽しみにお待ちしております。
2. Posted by triton   2013年09月25日 19:16
Nek さん
誤植の報告ありがとうございます。
修正しておきました。
次回もよろしくお願いいたします。
3. Posted by ひまじん   2013年09月29日 02:25
おい!もっと文系にもわかりやすくしろwww
4. Posted by triton   2013年09月29日 03:21
ひまじん さん
先ほどはどうも。これからもお世話になります。
Identric mean と Logarithmic mean の定義からして文系生には理解不可能ですね。
まあ,あくまで「ひとりごと」ですから…笑

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