2013年09月28日

Identric mean と Logarithmic mean (2)

前回は,区間$[a,\,b]$(ただし$0 < a < b$)を等差数列$\{x_k\}$で「分割」し,それらの「$H\leqq G\leqq A$」を作って$n\to\infty$とすることによって,新たな平均とそれらに関する不等式を得ることができる,という話でした。

\[\begin{array}{ccccc}
\text{Logarithmic mean}&\leqq&\text{Identric mean}&\leqq&相加平均\\
\displaystyle\frac{b-a}{\log b-\log a}&\leqq&\frac{a^{\frac{a}{a-b}}b^{\frac{b}{b-a}}}{e}&\leqq&\frac{a+b}2
\end{array}\]



では,はじめに「分割」する数列を,等差数列ではなく等比数列にしてみるとどうなるでしょうか。これが今回の内容です。

引き続き,$0 < a < b $とします。

$x_0=a,\ x_n=b$をみたす等比数列$\{x_k\}$を考えると,
\[x_k=a\cdot\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{k}{n}}\quad (k=0,\,1,\cdots ,n)\]
となります。この$n+1$個の数に対して$$H\leqq G\leqq A$$を考えると,
\begin{align*}
\frac{n+1}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{a\cdot\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{k}{n}}}}\ \leqq\ \left\{\prod_{k=0}^{n}a\cdot\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{k}{n}}\right\}^{\frac1{n+1}}
\ \leqq\ \frac1{n+1}\sum_{k=0}^{n}a\cdot\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{k}{n}}
\end{align*}
となります。これで$n\to\infty$としましょう。


区間を等差数列で分けたときは,$A$をシグマ計算した結果$\frac{a+b}2$となり,$n$に依存しませんでした。
等比数列で分けると,これに対応するように,$G$をシグマ計算した結果が$\sqrt{ab}$となり,$n$に依存しません。

$A$と$H$は計算が必要です。ともにシグマ計算できますが,結局$n\to\infty$とするので,区分求積法で求めます。

まずは$\displaystyle\lim_{n\to\infty}A$です。

\begin{align*}
&\lim_{n\to\infty}\frac1{n+1}\sum_{k=0}^{n}a\cdot\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{k}{n}}\\
={}&\int_0^1a\cdot\left(\frac{b}{a}\right)^x\,dx\\
={}&\frac{a}{\log\left(\frac{b}{a}\right)}\biggl[\left(\frac{b}{a}\right)^x\biggr]_0^1\\
={}&\frac{b-a}{\log b-\log a}
\end{align*}


何と,これは前回の記事で出てきた Logarithmic mean です。

次に$\displaystyle\lim_{n\to\infty}H$です。

\begin{align*}
&\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{a\cdot\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{k}{n}}}}\\
={}&\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac1{n+1}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{a\cdot\left(\frac{b}{a}\right)^{\frac{k}{n}}}}\\
={}&\frac1{\displaystyle\int_0^1\frac1{a\cdot\left(\frac{b}{a}\right)^x}\,dx}\\
={}&\frac{1}{\frac1{a}\cdot\frac1{\log\left(\frac{b}{a}\right)}\left[-\left(\frac{b}{a}\right)^{-x}\right]_0^1}\\
={}&\frac{ab\left(\log b-\log a\right)}{b-a}
\end{align*}



これで,以下の不等式が証明できました。

\[\large\frac{ab\left(\log b-\log a\right)}{b-a}\leqq\sqrt{ab}\leqq\large\frac{b-a}{\log b-\log a}\]



$\displaystyle\frac{b-a}{\log b-\log a}$は上にも述べたように Logarithmic mean で,また$\sqrt{ab}$は相乗平均です。
$\displaystyle\frac{ab\left(\log b-\log a\right)}{b-a}$は新しく出てきた平均です。特に名前はついていないと思いますが,Logarithmic mean を$L(a,\,b)$と表したとき,この平均は$\displaystyle\frac{1}{L\left(\frac1{a},\,\frac1{b}\right)}$と表されます。


これまでの結果と組み合わせると,次のようになります。

\[\frac{ab\left(\log b-\log a\right)}{b-a}\leqq\sqrt{ab}\leqq\frac{b-a}{\log b-\log a}\leqq\frac{a^{\frac{a}{a-b}}b^{\frac{b}{b-a}}}{e}\leqq\frac{a+b}2\]



まだまだ続きます。


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seven_triton at 20:21│Comments(0)TrackBack(0) いろいろな「平均」 | 不等式

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