2013年10月05日

Identric mean と Logarithmic mean (3)

区間$[a,\,b]$を,前々回は等差数列で,前回は等比数列で分けました。というわけで今回は調和数列です。

引き続き,$0 < a < b$とします。

区間$[a,\,b]$を調和数列(逆数が等差数列であるような数列)$\{x_k\}$で「分割」し,それらの「$H\leqq G\leqq A$」を作って$n\to\infty$とすることによって,さらに新たな平均とそれらに関する不等式を得ることができます。

$x_0=a,\ x_n=b$から$\frac1{x_0}=\frac1a,\ \frac1{x_n}=\frac1b$なので,
\[\frac1{x_k}=\frac1a+\frac{\frac1b-\frac1a}nk\quad\therefore x_k=\frac1{\frac1a+\frac{\frac1b-\frac1a}nk}\]
となります。あとは前回・前々回と同じように,これらの「$H\leqq G\leqq A$」を作り,$n\to\infty$の極限の計算を区分求積でおこなうだけです。各自やってみて下さい。得られる不等式は

\[\frac2{\frac1a+\frac1b}\leqq\frac e{a^{\frac b{a-b}}b^{\frac a{b-a}}}\leqq\frac{ab\left(\log b-\log a\right)}{b-a}\]


となります。

$\displaystyle\frac{ab\left(\log b-\log a\right)}{b-a}$は前回出てきた,Logarithmic mean の変形$\displaystyle\frac{1}{L\left(\frac1{a},\,\frac1{b}\right)}$です。$\displaystyle\frac e{a^{\frac b{a-b}}b^{\frac a{b-a}}}$は新しく出てきた平均で,Identric mean を$I(a,\,b)$と表したとき,$\displaystyle\frac{1}{I\left(\frac1{a},\,\frac1{b}\right)}$となります。最後の$\displaystyle\frac2{\frac1a+\frac1b}$はお馴染み調和平均$H(a,\,b)$です。


前回・前々回の結果と組み合わせると,次のようになります。

\begin{align*}
\large&\large\frac2{\frac1a+\frac1b}\leqq\frac e{a^{\frac b{a-b}}b^{\frac a{b-a}}}\leqq\frac{ab\left(\log b-\log a\right)}{b-a}\\[5pt]
\large\leqq{}&\large\sqrt{ab}\\[5pt]
\large\leqq{}&\large\frac{b-a}{\log b-\log a}\leqq\frac{a^{\frac{a}{a-b}}b^{\frac{b}{b-a}}}{e}\leqq\frac{a+b}2
\end{align*}



$a$と$b$の相加平均を$A(a,\,b)$,相乗平均を$G(a,\,b)$,調和平均を$H(a,\,b)$,Identric mean を$I(a,\,b)$,Logarithmic mean を$L(a,\,b)$と書くことにし,また一般に$a$と$b$の平均$M(a,\,b)$に対して$\displaystyle\frac{1}{M\left(\frac1{a},\,\frac1{b}\right)}$のことを$\widetilde M(a,\,b)$と書くことにし,「$(a,\,b)$」を省略して書けば,上の不等式は次のようになります。

AILG


相乗平均を中心とする対称性が見て取れます。非常に美しい不等式ですね。


ここで$a=1,\ b=2$としてみると,

\[\large\frac43\leqq\frac e2\leqq 2\log2\leqq\sqrt2\leqq\frac1{\log 2}\leqq\frac4e\leqq\frac32\]


となります。$\frac43=1.333\cdots,\ \frac32=1.5$なので,なかなか狭い範囲に入っています。


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seven_triton at 18:19│Comments(6) いろいろな「平均」 | 不等式

この記事へのコメント

1. Posted by bee   2013年11月17日 14:54
やはり鉄緑会はバリバリの進学校で中高一貫校しか入れないのでしょうか。。。
今高2で受験対策をしてくれない高校に通っているのですが…
ちなみにまだ数兇眇Bも終わっていません泣
2. Posted by triton   2013年11月27日 14:06
>beeさん

入会試験に合格さえすれば,どなたでも入会いただけます。実際,在籍者には「バリバリの進学校で中高一貫校」以外の生徒さんも多数いますよ。
その気になれば,文理共通範囲の基礎部分だけは自習でなんとかなるはずです。入会試験の問題のレベル自体はそれほど高くありませんので,是非チャレンジしてみてください。
3. Posted by かんかん   2015年02月09日 01:23
高校一年です。
友人から頂いた鉄緑会の基礎講座と特進講座のテキストと問題集が手元にあります。
高校受験をしたのでまだ数学Bの途中です。
今度の入塾テストを受けたいんですが、数学Bを既習してないと厳しいですよね?
高3までには本科に入れるように頑張りたいと思っています。
4. Posted by triton   2015年02月09日 10:14
>かんかんさん

IIBも是非やっておいてください。
ただ,難しい問題はあまり出題されず,ほとんどは基本的な計算問題です。計算だけはすらすらできるようにしておいてください。
頑張ってください!
5. Posted by Tigers   2015年10月07日 23:06
数学発展講座はどれほどのレベルでしょうか?これを完璧にこなせば大学入試問題にも太刀打ちできますか?
6. Posted by Dブレーン   2018年03月30日 07:16
なんて美しい!
Logarithmic meanなんかは形は見たことはあったので、こんな秘密があったとは本当にびっくり!
しかもこんなにきれいな不等式が、小さい範囲でも緻密に成り立っているとは…

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