2013年03月06日

4次方程式の解の公式 概略

興味のある人は先に3次方程式の解の公式を見た方がいいかも。
全部を書くにはかなり時間がかかりそうなので、考えてたことの概略を。
ラグランジュ・リゾルベントというものを用いて3次方程式の解の公式を求めたので、同じようにして4次方程式の解の公式も求めることができないだろうか、と考えた。
多分、かなりスマートではない解法だと思う。
間違ったことが書かれてる可能性もあるので注意を。


・4次方程式の3乗の項を消去
・解と係数の関係
・4次方程式のラグランジュ・リゾルベント
・ラグランジュ・リゾルベントを用いて解を表す
ここまでは3次方程式と同様にきた。
ここからどうするか。
4次方程式のラグランジュ・リゾルベントの4式のうち、1式は解と係数の関係から値が分かる。
残りの3式(L,M,Nとする)の値を調べたい。
3次方程式ではうまくやって${L^3,M^3}$を解にもつ2次方程式を立てていた。
ということは、4次方程式を解くためにはどうにかして3次方程式を立てればよいのではないかと考えた。
${L^4+M^4+N^4,L^4M^4+M^4N^4+N^4L^4,L^4M^4N^4}$
を計算すればいい・・・?→計算量に絶望し断念。
今思うとこれくらい計算してもよかったかもしれない。

うまいやり方が思いつかないので、未知数3個に対して3式立式できれば
何とかなる!と信じ、${L,M,N}$の関係式を探す。
1~2週間で2式見つかるが、3式目がなかなか見つからなかった。
探し始めて約1か月後、3式目を見つける。

見つけた式(p,q,rは4次方程式の係数)
${M^2+2LN=-8p}$
${L^4+6L^2N^2+N^4-5M^4-48pM^2=128(p^2-2r)}$
${M(L^2+N^2)=-16q}$
これから${L,M,N}$が求まれば、解の公式を導くことができる。

詳しくは気が向いたときに書く。

3/7
全体の4分の1程書いた。

3/8
全体の3分の2程書いた。

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4次方程式の解の公式
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