夢乃マホことまほっちのネット麻雀レート(以下R)1200とはどれほど弱いのか天鳳の計算方式で考察してみました。
saki 08_014

今回の考察は天鳳一般卓でR=1200台について計算しています。
まほっちがやっているネット麻雀がどんなものかわかりませんから、もしかしたら全く別のR算出方法の可能性があります。むしろそのほうが可能性が高いです。そのあたりを踏まえた上で読んでいただくようお願いします。


まず天鳳のRは以下の計算式で求められます。

(Rateの変動) = (試合数補正) x ( 対戦結果 + 補正値 ) x (スケーリング係数)
試合数補正(400試合未満): 1 - 試合数 x 0.002
試合数補正(400試合以上): 0.2
対戦結果(段位戦4人打ち): 1位+30 2位+10 3位-10 4位-30
対戦結果(段位戦3人打ち): 1位+30 2位0 3位-30
対戦結果(雀荘戦): 得点 + 祝儀(得点換算)
補正値: ( 卓の平均R - 自分のR ) / 40
スケーリング係数(段位戦):1.0
スケーリング係数(雀荘戦):(調整中)
※2009/09/09 Rate計算後小数第3位以下を切り上げ
※2010/02/01 卓の平均Rが1500未満の場合は1500に切り上げ
※2010/10/14 雀荘戦に収支制のRatingを導入

オンライン麻雀天鳳 -マニュアル- Rating より抜粋

上記式のうち(試合数補正)(スケーリング係数)については、Rの変動度合いなので今回の考察には特に影響しません。一応400戦以上・段位戦だと仮定し、(試合数補正)=0.2 (スケーリング係数)=1.0 とします。
ここまででRは対戦結果と補正値の2つによって決まることがわかります。

続いて補正値についてです。
補正値は卓の平均Rと自分のRによって決まります。
まほっちの所属している卓がどこかはわかりませんが、R1200台ですのでまず間違いなく一般卓でしょう(課金さえしていれば一応上級卓でも打てますが・・・)。一般卓の平均Rがどれくらいか出てこなかったのでここでは初段の平均R(2/23日現在)のR=1543を使用し、まほっち以外の3人の平均Rが1543だったと仮定します。
ここでまほっちのRを変数m(1200≦m≦1300)とすると
(卓平均R)=((1543×3+m))/4
です。mは高くても1300ですので
MAX(卓平均R)=((1543×3+1300))/4=5929/4=1482.25
となりますが、注釈の「卓の平均Rが1500未満の場合は1500に切り上げ」から1500に切り上げられます。

以上を整理してみますと、諸々の仮定からまほっちのR変動は
(R変動)=0.2×((対戦結果)+(1500-m)40)×1.0
となります。
(対戦結果)とmの2つの変数から求められるシンプルな式になりました。
(R変動)=0となる点がまほっちの安定Rですので仮にm=1250なら(対戦結果)の期待値は-6.25となります。
※以下では議論を単純化するためまほっちの安定R=1250として話を進めます。

では対戦結果期待値が-6.25とはどれくらいなのでしょうか。
現実の成績と比較してみます。

天鳳平均成績

上記は天鳳-ランキング-からデータを抜き出して対戦結果の期待値を追加したものです。9級の対戦結果期待値が-3.37ですのでまほっちの-6.25がどれほど低いか伺えます。
ちなみに新人は一度でもトップを取ると昇級するため1位率が0となっています。新人の期待値が極端に低いのはこれが原因です。

ここから順位率を求めたいのですが、4つの変数に対して条件式が2つしかわかっていないため推測で条件式を求めます。(※注1)

まずは1位~4位の順位率に着目してみましょう。
天鳳の成績で新人~初段までは勝率に次の傾向が見られます。
(1位率)<(2位率)<(3位率)<(4位率)
順位率をグラフで表すと下のようになります。(新人はやはり特殊な例として除外したほうが良さそうです。)
高段位になってくると上記の不等号がまったく逆になるため、上記は低段位者特有の傾向と思われます。そこでまほっちもこの傾向に従うものと仮定します。
勝率グラフ

さらに順位率の差額について着目してみます。
下記グラフは(1位率)と(2位率)、(2位率)と(3位率)、(3位率)と(4位率)の差を表したものです。(新人のデータは入ると見にくいため外れ値扱いにして抜いてあります)

順位差

グラフを見ると(2位率-3位率)は他と比べて差額が小さいこと、(1位率-2位率)と(3位率-4位率)は比較的近い値となっていることがわかります。この結果を踏まえてまほっちは以下の順位率に従うものと仮定します。
(1位率-2位率)=(2位率-3位率)×2
(1位率-2位率)=(3位率-4位率)


以上の仮定を数式で表すと以下のようになります。
(1位率)=a (2位率)=b (3位率)=c (4位率)=d とする。
a+b+c+d=1.0
(a<b<c<d)
30a+10b-10c-30d=-6.25
a-b=2(b-c)
a-b=c-d

変数4つに対して条件式も4つとなったため今度は解を求めることができます。
上記式を解くとまほっちの各順位率は次の値となりました。
(1位率)=0.152
(2位率)=0.230
(3位率)=0.270
(4位率)=0.348

順位率を先ほどのグラフに乗せてみます。
まほっち勝率

平均順位は2.814位です。
10戦して2回勝てない程度の成績だと考えるとかなり弱いことがわかりますが10戦して4位を4回は取らない程度、と聞くと物凄く弱いというわけではない印象を受けます。

ではこの平均順位2.814位は全体のどれくらいに位置するのでしょうか。
天鳳のデータで考えたかったのですが、ちょうどよいデータが手に入らなかったので「おしえて!科学する麻雀」 にあるMJ4のデータを利用しました。これによると300戦以上のプレイヤーの平均順位は2.491位、標準偏差は0.0705位の正規分布に近似できるそうです。詳しい説明は省きますがこの場合まほっちは上位から数えて99.999626%以下に位置します(※注2)。
照は高校生1万人の頂点ですが、まほっちも逆ベクトルで凄く、26万7400人に一人の弱さ。天鳳だと下位10人に入る成績です。弱い、弱すぎるぞ、まほっち。

ただしあくまでも常識の範囲内の弱さですので10連敗するとか100戦して1位0回等の漫画等でよくあるような負け方はしない成績ではあります(※注3)。
この成績は初心者も入り混じる一般卓での成績ですのでのどっちのような実力強者と当たった場合についてもそのうち考察してみます。


最後にまほっちの在籍段位です。
天鳳のルールでは3級までは昇段ポイントでマイナスが発生しないため長くプレイしていればいつかは2級には達します。2級の東南戦ですとトップが+45pt、2位3位は0pt、4位が-15ptです。まほっちの成績だと1戦ごとのpt期待値は
0.152×45-0.348×15=1.62 
です。ぎりぎりプラスですので長期に渡ってプレイしていれば1級までは上がれる計算になります。これが1級になると4位のポイントが-20ptとなるため
0.152×45-0.348×20=-0.12 
とマイナスに転落します。安定段位を計算すると1.1級くらいになります。


<結論>
・各種仮定の元、天鳳におけるまほっちの勝率は以下と推測される。
(1位率)=0.152(2位率)=0.230、(3位率)=0.270(4位率)=0.348
・在籍段位は1級~2級の間。運がよければ初段に上がれる程度。
・平均成績は2.814位。MJ4の分布だと下位0.000374%に位置する。


<考察と感想>
かなりの部分を仮定しましたがまほっちの強さを順位率で表すことができました。
漫画的に見るほど極端に弱くない成績かと思いましたが、順位を計算してみると酷い数字が出てきて笑いました。26万に1人って。
1年以上麻雀をやっていて級位から抜け出せないあたり「永遠の初心者」とは言い得て妙な表現だと思います。まあこの手の初心者キャラは何かをキッカケに覚醒したりすることもあるので、まほっちの今後の活躍に期待しましょう。
あと気になる点としてはネット麻雀にはチョンボがないためちょっとだけまほっち有利なのか、それとも能力が使えないので不利なのか。これについては答えが出せず完全な推測になりますがその内考えてみようかなぁ。

<今後の考察課題>
・上級卓、特上卓、鳳凰卓でまほっちが闘ったらどうなるか
・のどっちのR2300台はどれくらい強いのか


今回の記事は思いついてから書くまでかなり時間がかかりました。疲れた~(o´Д`)=з
あと統計知識どころか高校数学程度の知識の大半が抜けていたことにショック。
あの連立方程式も解くのに1時間近くかかる始末。
・・・勉強し直そう。


-関連記事-
【考察】のどっちのレート2300とはどれほど強いのか
【考察】藤白七実のレート2629とはどれほど化物か


※注1
(1位率)+(2位率)+(3位率)+(4位率)=1.0 
30×(1位率)+10×(2位率)-10×(3位率)-30×(4位率)=-6.25

の2つ

※注2
計算式は以下で求められます。(大学初頭程度の統計知識で解いています)
下側確率Q(u)=Q((2.814-2.491)/0.0705)=Q(4.58)
標準正規分布表よりQ(4.58)=3.74E-6
上側確率は1-Q(4.58)=0.99999626

※注3
まほっちが10連敗する確率は0.348^10=0.0026%、
100戦トップなしは(1-0.152)^100=0.0000069%