"A Near-rational Model of the Business Cycle, with Wage and Price Inertia" (1985)
George A. Akerlof and Janet L. Yellen

英語の原文はこちら。
http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic500592.files/akerlof%20yellen.pdf

前回のイントロダクションに続くモデルとシミュレーションの部分です。
最初のイントロダクションは → こちら

モデルの計算をより詳しく書いた補足は → こちら
シュミレーションの補足(計算方法やグラフ)は → こちら

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II. 循環的失業 (cyclical unemployment) のモデル

 イントロダクションの仮定にもとづいて、このセクションでは、貨幣供給の変動が、近似合理的な短期の均衡において、同じ次元のレベルの失業の変動を引き起こすことを示すモデルをつくる。前節で示したように、このモデルは独占的競争と効率賃金の理論にもとづいている。

モデル

 ある特定の数の同質の企業が存在する、独占競争的な経済を想定しよう。代表企業の価格変更は、ライバル企業の価格に影響を与えない、つまり平均の価格レベルには影響を与えないという仮定のもと、最初の均衡においては、すべてのの企業が利潤を最大化するように自身の価格と賃金を設定しているものとする。すべての企業はベルトラン利潤最大化(a Bertland maximizer) していると言ってもよい。2つの異なったタイプの企業が存在する。最初のタイプは、すべての企業のうちのβの割合の企業で、短期においては慣習的な経験則(rule of thumb) にしたがって価格と賃金を設定する。そのような企業を示す添え字は、彼らは利潤最大化しない企業なので、n とする。全体のうちの残りの (1-β) の割合の企業は、長期においても短期においても利潤最大化する。彼らは利潤を最大化するレベルに自身の価格と賃金を設定する。他の競争相手が設定する価格(そして平均価格)は、その当該の利潤最大化する企業の意思決定の影響を受けないというベルトランの仮定にしたがっているとする。これらの企業を示す添え字は、彼らは利潤最大化する企業なので、m とする。
 それぞれの企業が直面する需要曲線を次のものとしよう。

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   (1)
 ここで X = 「企業の産出量」、 p = 「企業の生産物の価格」、 p = 「平均価格水準」、M = 「企業当たりの貨幣供給」 である。パラメーターηは 1 より大きくなると想定している。そのため、それぞれの企業は自身の価格を下げることにより収入を増やすことができる。平均価格水準p は、すべての企業がつける価格の幾何(相乗)平均(geometric mean)として与えられる。長期的均衡ではすべての企業が同じ価格をつける、つまり p = pとなる。したがって(訳注 長期においては)需要を表わす(1)式は、貨幣数量説と一致する。
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   (2)
 企業は次の生産関数にしたがって生産する。

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   (3)
 ここで e = 「雇用されている労働者の平均的な努力水準」 である。N = 「雇用されている労働者数」 である。
 努力水準 e は、支払われる実質賃金 ωに依存すると想定している。したがって、努力水準の関数は、
e = e(ω) である。また e(ω) は、ωに対する弾力性が、ωが大きいところでは 1 より小さく、ωが小さいところでは 1 より大きくなる関数と想定している。そのような関数の例としては、

1308050913080510
   (4)
 が挙げられる。
 多くの効率賃金の理論では、実際には、e はωだけでなく、失業率と他の企業が支払う賃金にも依存することになっている。e が失業に依存していることは、それらのモデルにおいて重要な役割を果たしている。e が失業に依存しているために、労働供給の増加は、均衡において雇用される労働者を増加させる。通常労働供給の増加は、他の影響 (repercussions) がなければ、失業率を増加させる。しかし、この失業の増加が e を増加させ、そのために今度は、企業の労働需要が高まるのである(訳注1)。(均衡での実質賃金や他の条件も変化すれば、さらに他の変動(repercussions)が続くだろう。) ただし私たちのモデルでは、e が持つ、この失業や他の企業の賃金に依存する性質は省略した。その結果、均衡での失業率は労働供給の影響を受けないことになっている。この結果は問題になるレベルではないだろう。なぜなら、e が失業と他の企業の賃金に依存することは、効率賃金モデルにとって本質的な特質ではないからだ。私たちの目標は、どうして個々の企業にとっての費用が2次的にすぎない慣性的な 賃金―価格 設定という行動が、厚生の1次的な変化を生じさせるのかを、もっとも単純な方法で明らかにすることである。その現象は、e が失業や他の企業の賃金に依存することによって起こるわけではないので、また、そのような想定を入れるとモデルが複雑になってしまうため、私たちはより単純な、e = e(ω) という仮定を採用することにした。

長期の均衡

 生産関数と需要関数を使えば、それぞれの企業にとっての利潤関数を計算できる。それは収入(価格×売り上げ生産量)から要素費用(貨幣賃金×雇用労働量)を引いたものである。したがって、企業の利潤関数は、

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   (5)

 
 となる。
 長期の均衡では、それぞれの企業は、(労働需要が労働供給を上回っているという条件で)利潤を最大化するように、自身の生産物の価格と雇用している労働者の賃金を選択している(ここで、平均価格 pはその決定によって影響を受けないと仮定されている)。表記をわかりやすくするために、初期状態における価格水準を pとしよう。そうすると pは(訳注 ショック前の初期状態なので)平均的な価格水準になるし、利潤最大化する企業の価格にもなるし、利潤最大化しない企業の価格にもなる。初期状態における貨幣供給を Mとすると、利潤最大化の1階の条件と、p = pになるという条件から(最初の長期の均衡ではすべての企業が同じ価格をつけるので)、長期の均衡での価格が求まる。
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   (6)

 実質賃金ωは、最適なレベルωに調整されるとしよう。その場合、努力水準の実質賃金に対する弾力性は 1 になる。(これは効率賃金モデルの標準的な結果である[Solow, 1979]。そしてそれは、企業が効率労働1単位当たりの費用を最小化する実質賃金を選択する場合の条件になっている[訳注2]。)
 企業が実質賃金ωを選択した場合、労働需要は、
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   (7)

 となる。企業当たりの労働供給 Lは、企業の労働需要(それは(7)式の右辺である)を上回ると想定している。その場合、失業が発生し、企業は、選択した最適な実質賃金のレベル ωでは、必要な労働をすべて確保できる。

短期の均衡に関するいくつかの仮定

 この初期の(長期の)均衡の特徴が、短期においていくつかの企業が利潤最大化せず、貨幣供給に変化が生じた場合、どのくらい雇用に変動が生じるかを決める基準となる。また、ここでは、そのように利潤最大化しない企業の実際の利潤と、その企業がもしベルトラン的な利潤最大化をするように価格と賃金を設定した場合の期待利潤との差がどのくらいになるかを計算する。
 具体的な短期の変動は次のようなものとする。貨幣供給がεの割合だけ変化した、つまり、M = M(1+ε) になったと想定しよう。また、短期において異なった対応する2つのタイプの企業が存在すると想定しよう。m-企業――短期において利潤最大化する企業である――は、自らの 価格―賃金 設定の意思決定によって平均価格には影響を与えないという仮定のもと、自らの生産財の価格と自らの労働者に支払う賃金の両方を、正確に利潤最大化するように設定する。いっぽう、n-企業――短期において慣習的な経験則(rule of thumb) にしたがう企業である――は、以前と同じ生産財の価格と貨幣賃金を維持する。この仮定は、貨幣賃金は景気循環を通して粘着的である、という事実、また、価格は通常の平均要素費用に一定のマークアップを上乗せしたものになる、という事実と整合的である。(そのような価格設定のモデルと更なる参考文献については、Nordhaus and Godley [1972]、 Nordhaus [1974] を参照せよ。ちなみにこの賃金設定は、標準的なフィリップス曲線と整合的である。) 貨幣供給の増加によって、利潤最大化しない企業は雇用を増やす――ただし、その割合は、生産財の相対的価格の低下、実質残高の増加、生産を行うのに必要な生産関数によって決まる労働者の数によって決まってくるが。

 
短期の均衡の特徴

 短期のモデルに関して最初の重要な作業は、利潤最大化しない企業の利潤と、仮にその企業が慣習的な経験則(rule of thumb) を止めて、その代わりベルトラン的利潤最大化する価格設定を行った場合、得ることができる利潤との差を計算することである。その計算によって、その両者の差をεで微分した関数が、ε = 0 において 0 になる、と示されるだろう。つまり、利潤最大化しない企業の個々の (individual) 利潤最大化しない行動によって被ると予測される利潤の損失は、2次的な影響になるのである。2番目に重要な作業は、初期の雇用量と、その後の(訳注 総需要変動――この場合は貨幣供給の増加――があった後の)雇用量との比を、εで微分した関数を求めることである。その導関数は ε = 0 においてプラスになる(訳注 雇用への影響は「1次」になるということ)。
 短期の均衡における主要な内生変数は、以下の(8)式から(12)式で決定される。
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   (8)
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   (9)
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   (10)
 ここで、
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   (11)

13080517
   (12)

[以下それぞれの式を説明する]
(8)
13080513

 これは p=pという仮定そのものである。

(9)
13080514

 利潤関数(5)式をωで微分し、それを 0 とおいた式(訳注 1階の条件)から、実質賃金に対する努力水準の弾力性が 1 になる、という最適条件が導かれる。つまり、短期の均衡においても、ω(利潤最大化する企業の実質賃金)は長期の均衡における最適値ωから変化しないのである。

(10)
13080515

 利潤関数(5)式を pで微分し、それを 0 とおいた式(訳注 1階の条件)に、ω=ωを代入すれば、利潤最大化する企業にとっての最適価格 pが、pと M を変数とする関数として求まる。前に書いたように、p  はすべての企業の価格の幾何平均、つまり p=(pβ(pβ-1 である。さらに p= pと M = M(1+ε) を代入すれば、p= p(1+ε)θ が求まる。

(11)
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 これは 、pの定義、つまり p=(pβ(pβ-1 に、p= p, p= p(1+ε)θ を代入すれば求まる。

(12)
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 利潤最大化しない企業が支払う貨幣賃金は初期状態から変化せず、ωのままである(訳注 このωは名目賃金)。したがって実質賃金は、ω/ pとなる。この実質賃金は、(ω/ p)(p/ p) の積の形で表わすことができる。この積の最初の項はωであり、2番目の項は (1+ε)-(1-β)θ である。

、ω、p、p、ω の計算

 これらのそれぞれを順番に説明しよう。
 最初に利潤最大化しない企業について考えよう。そのような企業の実際の利潤 Πは、利潤関数(5)式に、p= p, p=p(1+ε)(1-β)θ ,ω=ω(1+ε)-(1-β)θ を代入することで与えられる。これらの企業が慣習的な経験則(rule of thumb) を続けるのが合理的かどうかは、利潤最大化した場合の期待利潤と、実際の利潤との差がどのくらいになるかによる。平均価格 p一定という仮定で、利潤最大化しない企業にとっての(訳注 仮に利潤最大化した場合の)最適価格は、利潤最大化する企業が設定する価格と同じになる。それは p= p(1+ε)θ である。利潤最大化しない企業にとって、期待できる利潤の最大値は、利潤最大化する企業が得ることができる利潤 Π と同じになるわけである。Πは、p= p(ε) = p(1+ε)θ , p = p(1+ε)(1-β)θ, ω=ωを利潤潤関数(5)式に代入すれば求まる。したがって、Πと Πは、それぞれεの関数として表記できる。

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   (13)
   
   (14)

 関数 f(ε)、g(ε)の詳細は、ここでは重要ではない。重要なことは、それらが Πと Πの関数で同じ役割を果たすことである。それを正確に求めるには、利潤関数(5)式の p に p(1+ε)(1-β)θ を、M に M(1+ε) を代入すればよい。同様に、h(ε) は、ω=ω(1+ε)-(1-β)θ  なので、(1+ε)-(1-β)θ となる。また h(ε)は、ε = 0 のとき 1 になる (h(0)=1)。
  Πと Πは、それほど違っていない。それぞれ最初の項と2番目の項は、同じ f(ε)、g(ε) を含んでいる。Πを pで微分した導関数はゼロになる。なぜなら、pは Πを最大化する価格だからだ。また Πをωで微分した導関数も、ω =ωのときゼロになる。これらの特質は、ΠとΠとの差をεで微分した導関数が、ε = 0 のときに 0 になることを計算するときに役に立つだろう。
 Πと Πとの差をεで微分した導関数は、次のように4つの項に分けることができる。次の(15)式では、それぞれの項は中括弧({    })でまとめられている。
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   (15)


 (15)式の最初の{    }で囲まれた項は 0 になる。なぜなら、この項は、利潤関数Πを最大化するための pの1階の条件を表わす式に等しいからだ(訳注 {   }の中が1階の条件で、pは利潤最大化する価格なので)。2番目の{ }で囲まれた項は、εが 0 のときに 0 になる。それは h(0) = 1 であり、ωは利潤最大化する賃金だからである(またωのときに ωe’(w)/ e(w) = 1である)。このように、(15)式の最初の2つの{      }で囲まれた項は、ε = 0 のときに 0 になるのである。これは p、ωがそれぞれ最適化する p とωの値だからである。{    }で囲まれた3番目の項と4番目の項は、εが 0 のときに差し引き 0 になる(訳注 ε = 0 のときに両者が同じになるので)。これは p(0)= pで、 h(0) = 1 だからである。この2つの項は、εがΠとΠに対して共通の影響を与えることを反映している。εが 0 のとき、これらの4つの項がすべて 0 になるか、お互いに消去されて 0 になるので、したがって

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   (16)

 となる。これがこの論文の中心的な結果である。これは、利潤最大化しない企業にとって、利潤最大化した場合に得ることができる利潤と比較した損失が、εに関して2次的であることを示している。当然ながら、この利潤の差をパーセンテージ(両者の比)で計算しても、εが 0 のときに 0 になり、その導関数もεが 0 のときに 0 になる。

雇用
 貨幣供給の変化に対する雇用(employment 雇用される労働量)の弾力性は 0で はない。εが 0 のとき、この弾力性は次のように計算できる。

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   (17)
 

 (17)式に関して2つの指摘が必要だろう。第一に、θは 1 より小さいので、貨幣供給の増加は雇用の増加につながる。また、β = 0 のときに θ = 0 になるので(訳注 βは利潤最大化しない企業の割合)、貨幣供給の変化に対する雇用の弾力性は、利潤最大化しない企業の割合が 0 に近づくにつれて、0 になる。βが 0 になればこのモデルは貨幣中立性のモデルになるわけだから、そのような結果は予想がつく。

シミュレーション

 私たちは、投入労働量に対する企業の産出の弾力性(α)、それぞれの企業の需要の弾力性(η)、利潤最大化しない企業の割合(β)のパラメーターのいくつかの値に対して、上記の失業のモデルのシミュレーションを行った。賃金-努力関数のパラメーターは、a =1.0, b =2.0,γ=0.5とした。したがってω/e(ω)が1になり都合がよい(訳注1)。
 次の表 I は、それぞれのパラメーターの組に対して、貨幣供給の増加が雇用を5%増加させた場合と、雇用を10%増加させた場合に、利潤最大化する企業の利潤と利潤最大化しない企業の利潤との差をパーセンテージで示したものである。雇用が5%増加する場合、ひとつのパラメーターの値を除いてすべての値で、例えばη(需要の弾力性)が100という大きな値の場合でも、その利潤の差は1%以内に収まった。雇用の増加が10%の場合でも、その利潤の差は、ηの値が低い場合には、ほぼ1%以内に収まった。α= 0.75,
η= 100,β= 0.25 のときのみ5.05%に達した。この損失はこの表の中では極めて大きいが、まったくありえない値というわけでもない。景気循環の中で、すべての企業の4分の1が、価格や賃金を変更しないと5%の利潤の損失をもたらす状況で、その調整を行わない可能性は十分考えられる。

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  表 I




III 結論
 要約すると、私たちは、総需要の変動が均衡において大きな変動をもたらす、ということを示すモデルを提示した。このモデルは、「歩道に500ドル紙幣が落ちているなんてことはない」という有名なルーカスの批判に答えるものである。このモデルには、利潤を増加させる機会ならどんなものでも利用しようとするする利潤最大化する企業と、利潤最大化していないが、その行動を変更したとしても、わずかな利益しか得ることができない企業の2つのタイプが存在する。
 また、このモデルは、非自発的失業が発生する条件を満たしている。このモデルで非自発的失業が発生するのは、効率労働当たりの費用を最小化するという効率賃金の基準にしたがって、市場をクリアするレベルよりも高い賃金が選択される、という仮定のためである。
 イントロダクションですでに明らかにしているように、この論文で短期における貨幣の非中立性を示すために用いられた基本的な方法は、さらに広い範囲のモデルでも適用可能である。前節の独占競争市場における効率賃金モデルは、そのようなモデルの一例にすぎない。


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訳注1) 
 効率労働の考え方では、失業率が高くなると、労働者の努力水準 e が高くなります(失業しないようにするので)。労働者の努力水準 e が高くなれば、「効率労働単位当たりの費用(実質賃金)=ω/e 」が低下します。したがって、効率労働単位当たりの費用が低下するので、企業は雇用を増やします(企業は、労働者1人当たりの労働費用ではなくて、効率労働1単位当たりの労働費用で最適化します)。失業(均衡における失業)は効率賃金によってある程度は相殺されるわけです。

訳注2)
 企業は、効率労働単位当たりの費用ω/e を最小にするように賃金を設定します。したがって、ω/e をωで微分し、1階の条件を求めると、
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 となります。ここで e’(ω) は、e(ω) をωで微分した関数です( e’(ω) = d(e(ω))/dω)。
 この式から次の関係が導けます。
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 これは e(ω) のωに対する弾力性が 1 になることを表わしています。つまり、企業が最適な賃金ωを選択しているとき、努力水準 e(ω) の実質賃金ωに対する弾力性は 1 になるということです。

訳注3) 最適賃金を選択しているときには、
13080803

 
 が成り立ちます(上記の訳注2)。
 e(ω)は、a=1,b=2の場合、
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 となります。e(ω)がこの関数の場合、上記のe’(ω)・ω/e(ω)が成り立つのは、ω=1のときです。
 そして、ω=1ならば、ω/e(ω)=1 になります。