1.8 
 米国の産出量のうち投資が占める割合が、恒久的に 0.15 から 0.18 に上昇するとする。資本分配率は3分の1であると仮定せよ。
(a) 投資比率の上昇がなかった場合に比べ、産出量は最終的にどのくらい増加するか。
(b) 投資比率の上昇がなかった場合に比べ、消費は最終的にどのくらい増加するか。
(c) 投資比率の上昇が消費に与える短期的影響はどのようなものか。また、投資比率の上昇がなかった場合の水準に消費が戻るまでにはどのくらい時間を要するか。

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(a) 均斉成長経路におけるで効率労働1単位当たりの産出量( y* )の貯蓄率( s )(=投資比率)に関する弾力性は(導出は省略。27~28ページにあります)、
140310 (1)

   (1)

 となります(28ページの(1.27)式)。資本分配率(= α )が3分の1ならば、0.5 です。
 投資比率が 0.15 から 0.18 に増加したので、増加した割合は 20%(003/0.15)です。したがって、産出量の増加率は、0.5 X 20% = 10% になります。

(b) 均斉成長経路における効率労働1単位当たりの消費量( c* )は、
140310 (2) 
  (2)

 で表されます。s で微分すれば、
140310 (3)
   (3)

 (2)式から、y* = c* / (1-s) なので、(3)式に代入すれば、
140310 (4)


 となります。したがって、消費量の貯蓄率に対する弾力性は、
140310 (5)


140310 (6)


140310 (7)
   (4)

 となります。貯蓄率(投資比率)が 0.15 から 0.18 に増加した場合なので、s を 0.165 とし(0.15と0.18の平均です)、(4)式の第二項、つまり産出量の弾力性は 0.5 なので、(4)式の値は、
140310 (8)


 になります。貯蓄率の増加は20%なので、消費量の増加は、6% (0.30X20%)になります。

(c) 時点 t における消費量は、
140310 (10)
   (5)
 です。(5)式から、貯蓄率が 0.15 のときの c は 0.85y 、貯蓄率が 0.18 のときは 0.82y  です。したがって、この貯蓄率の増加によって、
 0.03y/0.85y = 0.035,
 c は貯蓄率が変化した瞬間、3.5% 減少することになります(下の図を参照)。
 問題(b)から、最終的に消費量は 6%増加することがわかっています。したがって、消費量の変化は次の図のようになります(横軸の数字の単位は10年です)。
14030901












 消費は(5)式で表され、s は外生的に決まっているので、消費の時間に対する変化の割合は、産出量の場合と同じです。産出量の時間に対する変化を表す式(29~30ページ。あるいはこの補足を参照)から、時点 t における消費を表す式は、
140310 (11)
   (6)

 となるとわかります( c(0)は時点0での消費量)。λの値は産出量の場合と同じなので、
140310 (12)

 です。(6)式にこの値を代入し、(6)式を変形すれば、
140310 (13)
   (7)

 となります。
 右辺の分母の c(t)-c* は、時点 t における消費量から、最終的に到達する均衡成長路の消費量までの残りの距離(消費量の差)を表しています。貯蓄率が変化したとき、消費量は 3.5% 減少し、最終的に 6% 増加するので、貯蓄率が変化した時点を 0 とすると、残りの距離は 9.5%ということになります( c(0)-c* = 9.5%) 。
 今ここで求めたいのは、消費が元の水準に戻る時点です。その時点では、時点0における水準から 3.5% 増加しているので、均衡成長路までの残りの距離は 6% です(上の図も参照)。したがって、消費量が元の水準(貯蓄率が変化する時点0より前の水準)に戻ったとき、(7)式の右辺の値は、
140310 (14)


 になります。両辺の対数をとれば、
140310 (15)

 となります。これを解けば、
140310 (16)

 したがって、消費が元の水準に戻るのは11.2年後ということになります。