9/5正しくはＣ＞Ｄは無限個で、
Ｃ＞Ｄ＾１+εとなる固定の値のεは有限個（１？）ですね。
修正しておきます。
ε=1＾-(x+n)とでも置けば別ですが。
ABC予想の反例となる無限個の組み合わせについての考察
著者は2のべき乗数と、2のべき乗数に+1した数の組み合わせのうち、
常にC>D^(1+ε)となる組み合わせが存在する事を確認した。
3^2n+2と17^2n+2でともにべき乗数が4以上とした偶数のべき乗数と
した場合である。
数式で表すと次のようになる。
A+B=Cの組み合わせにおいて、A=1、C=(3or17)^2n+2の場合にC>D^1+ε
が成立する。
4以上の偶数のべき乗数においてC>Dの出現率が50％程度以上になる
組み合わせには次のようなものがある。
1+x*2^y=(4+1)^2n+2
1+x*2^y=(8+1)^2n+2
1+x*2^y=(32+1)^2n+2
1+x*2^y=(64+1)^2n+2
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1+x*2^y=(65536+1)^2n+2
・
・
これらの組み合わせのうち、nは自然数であり、無限にnを大きく
取れる事から、ABC予想においてC>Dとなるrad(ABC)の組み合わせは
無限に存在しており、1+x*2^y=(2+1)^2n+2すなわち1+x*2^y=3^2+2n
ではD^(1+ε)のεは概ね0.01以上として出現しており、εを0.000001
若しくはε=n^-100000nとして考えれば、c>D^(1+ε)を満たすrad(ABC)
は無限に存在すると言える。
互いに素ではない場合のC≧D^2となるrad(abc)の最小値はビール予想により
(Beal Conjecture)2^5+2^5=2^6である。
以下はその例である。 2^1 2^3 2^4 2^7/ 2のべき乗指数がC<2となる事
数値の小さい方から
then C=1+B 2の4乗以上の偶数べき乗と3の同じ偶数べき乗との関係式
3^4 C=81 rad(abc)80=30 ε>0.28 (2+1)^4=2^4+2^3*2^3+1=81=1+5*2^4=1+5(2^2)^2=(3^2)^2
1+5*2^4=3^4 上の式の場合にABC予想におけるCはDの4倍以上となるため、
D=rad(ABC)はCに対して1/4>rad(abc)となるためにε>10^-n
3^6 C=729 rad(abc)=271 ε>0.17 を満たすのだと考えられる。
1+7*13*2^3=3^6
3^8 C=6561 rad(abc)=1230 ε>0.23
1+5*41*2^5=3^8
3^10 C=59049 rad(abc)=4026 ε>0.32
1+61*11^2*2^3=3^10
3^12 C=531441 rad(abc)=199290 ε>0.08
1+5*7*13*73*2^4=3^12
3^14 C=4782969 rad(abc)=3587226 ε>0.01
1+547*1093*2^3=3^14
3^16 C=43046721 rad(abc)=4035630 ε>0.15
1+5*17*41*193*2^6=3^16
3^18 C=387420489 rad(abc)=290565366 ε>0.01
1+7*13*19*37*757*2^3=3^18
3^20 C=3486784401 rad(abc)=23773530 ε>0.29
1+1181*61*11^2*2^4=3^20
3^22 C=31381059609 rad(abc)=23535794706 ε>0.01
1+3851*661*67*23*2^3=3^22
3^24 C=282429536481 rad(abc)=52955538090 ε>0.06
1+6481*73*41*13*7*5*2^5=3^24
3^26 C=2541865828329 rad(abc)=1906399371246 ε>0.01
1+797161*398581*2^3=3^26
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・
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then C=1+B
17=(2^4+1)
17^2 C=289 rad(abc)=102 B=2×2×2×2×2×3×3 ε>0.2
1+3^2*2^5=17^2
17^4 C=83521 rad(abc)=14790 B=2×2×2×2×2×2×3×3×5×29 ε>0.18
17^6 C=24137569 rad(abc)=2849574 B=2×2×2×2×2×3×3×3×7×13×307 ε>0.14
17^8 C=6975757441 rad(abc)=617645190 B=2×2×2×2×2×2×2×3×3×5×29×41761 ε>0.11
17^10 C=2015993900449 rad(abc)=713997839742 B=2×2×2×2×2×3×3×11×71×101×88741 ε>0.03
17^12 C=582622237229761rad(abc)=34390895947590 B=2×2×2×2×2×2×3×3×3×5×7×13×29×307×83233 ε>0.09
17^14 C=168377826559400929
rad(abc)=59633813573121162 B=2×2×2×2×2×3×3×22796593×25646167 ε>0.02
17^16 C=48661191875666868481 rad(abc)=2154271515329001990
B=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3×5×29×18913×41761×184417 ε>0.07
17^18 C=14063084452067724991009 rad(abc)=553408415937850288998
B=2×2×2×2×2×3×3×3×3×7×13×19×307×1423×5653×1270657 ε>0.06
17^20 C=4064231406647572522401601 rad(abc)=143941528985434860168390
B=2×2×2×2×2×2×3×3×5×5×11×29×71×101×21881×63541×88741 ε>0.06
17^22 C=1174562876521148458974062689 rad(abc)=415991018767906745886647202
B=2×2×2×2×2×3×3×23×947×87415373×2141993519227 ε>0.01
17^24 C=339448671314611904643504117121 rad(abc)=10018450368660420796770086790B=2×2×2×2×2×2×2×3×3×3×5×7×13×29×73×307×1321×41761×72337×83233 ε>0.05
17^26 C=98100666009922840441972689847969 rad(abc)=34743985878514339323198660987822B=2×2×2×2×2×3×3×53×79×65651×212057×2001793×2919196853 ε>0.01
17^28 C=28351092476867700887730107366063041 rad(abc)=295323879967371884247188618396490B=2×2×2×2×2×2×3×3×5×29×5766433×22796593×25646167×100688449 ε>0.05
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65537=(2^15+1) 1+B=C B=-1+C
65537のべき乗でも偶数べき乗で成立する例が多い
B=-1+65537^2= 4295098368=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*11*331
B=-1+65537^4= 18447869999386460160=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*5*11*331*8681*49477
B=-1+65537^6= 79235416345888816038194577408=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*3*7*11*13*37*97*241*331*673*116085511
B=-1+65537^8=
340323907514262993620990571134040145920=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*5*11*17*331*8681*49477*542584411746660593
B=-1+65537^10=
1461724660096217828138574006242194311125809102848=2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*11*331*3571*37693451*137055701*18447588515819683841
このABC予想のA=1とした研究は意外と重要かもしれません。
リーマン予想のゼータ関数の一部分と似ているからです。
C^x=(C^x -1)+1
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