A+B=C rad(abc)=D C>Dとなる解の自然数の組み合わせ
(A,B,C) が有限の個数であるか無限であるかは次の通りです。
答えは無限です。
A,B,C が互いに素という事は、１を含まない最小の素数である２と３を
B,Cでべき乗数として使用すると組み合わせの解を見つけるのに有利です。
１をAとして使っても良いのですが、１のべき乗を使うと
1^1+2^3=3^3 や1^1+2^4*5=3^4 のように範囲が限定されます。
具体的に説明すると
A+2^x=3^y rad(A*2*3)=D 即ちA>1/6 未満となる
3^y-2^x＞C*1/6 の組み合わせを見つけるだけで良いです。
逆の 2^x-3^y ＞C*1/6 でも良いです。
ただし全ての組み合わせで単純なx:yの比率となるわけではありません。
5^1+3^3=2^5 C>D になりますが、5*59+3^6=2^10 のように2^がCで3^がBになるとC<D と
なってしまう場合があります。
* B,Cのradとなる素数が大きい値になると解を見つける個数に対して
不利になります。
B=5,C=7 とするとAは＜1/(5*7) 未満となる組み合わせを見つけなくては
なりません。
簡単な A+2^x=3^y でA+B=C rad(abc)=D C>D^1+ε の計算を行ってみます。
この式だけで解が無限に存在する事が証明できます。
x:y=5:4 A+2^5=3^4 C=81 A=7^2 D=rad(A,B,C)=42
x:y=10:8 A+2^10=3^8 C=6561 A=7^2*113 D^1=4746
x:y=15:12 A+2^15=3^12 C=531441 A=7^2*10177 C>D^1=427434
2*A>Bの時は次のような計算もできます。
A+2^19=3^12 C=531441 A=23*311 C<D^1=42918
x:y=25:20 A+2^25=3^20 A+33554432=3486784401 A=3453229969=7^2*70474081
C>D^1=2959911402
x:y=35:28 A+2^35=3^28 A+34359738368=22876792454961 A=22842432716593=7^3*239*1583*176023
C>D^1=2797032577542
x:y=40:32 A+2^40=3^32 A+1099511627776=1853020188851841
A=1851920677224065=5*7^2*17*37*41*113*2593841
C>D^1=1587360580477770
x:y=45:36 A+2^45=3^36 A+35184372088832=150094635296999121
A=150059450924910289=7^2*73*4951*10177*832591
C>D^1=128622386507065962
x:y=50:40 A+2^50=3^40 A+1125899906842624=12157665459056928801
A=12156539559150086177=7^2*11*113*2832131*70474081
C>D^1=10419891050700073866
x:y=70:56 A+2^70=3^56 A+1180591620717411303424=523347633027360537213511521
A=523346452435739819802208097=7^3*113*239*337*1583*176023*601642609
C>D^1=64083239073764059567617318
すなわち、x:y=5:4 である限りは、A=7^2*n としてAは出現するため、rad(7^2)として1/7以下になるため、
C=1/6*2*3>D=1/7*2*3 を満たすためC>D^1+εが成立するからです。
x:y=125:100 A+2^125=3^100
A=515377520689476035171343821832699446773136495569=7^2*10517908585499510921864159629238764219859
928481=
7^2*1601*70474081*93219901287408860159286578653580801
C>D=44175216059097945871829470442802809723411699616
x^1000でも結果は同じでABC予想の解は無限にあります。x:yの比率が同じならA=7^2*nの組み合わせになる
からです。
x:y=1000:800 A+2^1000=3^800
A+2^1000=3^800 .
C=4977414122938492192881464029729961679802517669640314331069754317413863193300588672960378941038
799444233797200629740876278809425638436874294137213623651683084623545115805694417048191856898335
577690331770093271154442020977681305435856437590481321498962517248672813060123683011804992094505
499691756946329466238029256908317387659245893361869285485179777099016847012698558309358412176001
A=4977414122938492192881464029729961679802517669640314331069754317413863193300588662245292869176
126234749546710029722770664761308583100799856633329920141171835262320183821906260089610580951606
402158863518221818297518880541696727861157862786546753724138286263251738455061311869927037912352
453216773364388198839261697742773441582182978790672807798637609438587015360074171472152744106625
=7^2*1015798800599692284261523271373461567306636259110268230830562105594665957816446665764345483
505331884642764634699943422584645165016959346909517006106151259558216800037514674746957063383867
674775950788473106493530105893988101373032889359752356480351864956380255456827563533034678987329
051521064647625385346701890142396484375833098567100137307714007675395630003134709014586153621246
25
C>D=42663549625187075938983977397685385826878722882631265694883608434975970228290759962102510307
223939154996114657397623748555096930712292570199714256458352901445105601575616339372196662122442
340589933115870472728264447547500257667381353109598972174778328167970729186757668387456517467820
163884715200266184561479385980652343784990139818205766923988322366616460131657778612618452092340
4
他の素数の組み合わせでも計算してみます。
A+5^3=2^7 x:y=3:7 A=3 3+125=128 D=3*5*2=30
A+5^6=2^14 x:y=6:14 759+15625=16384 A=759=3*11*23 3*11*23+5^6=2^14 C>D=7590
13+3^5=2^8 x:y=5:8
13+243=256 C>D=78^1
A+3^10=2^16 x:y=10:16
6487+59049=65536 A=13*499 C>D=38922^1
A+3^15=2^24 x:y=15:24
2428309+14348907=16777216 A=13*186793 C>D^1=14569854
A,B,Cが互いに素という条件がなければ、9^3+18^3=3^8 のように729+5832=6561 となってrad(A,B,C)=D
=3*2*3*3=54 でC>D^2 を満たすような数値(ビール予想、Beal conjecture) は存在しますが、
互いに素な素数のべき乗数でもべき乗数の比が自然数で同じならばC>Dが無限に成立する場合があるため、
ABC予想のA+B=C D=rad(A,B,C) のC>Dとなる自然数(A,B,C)の組み合わせは無限に存在します。
9/5
正しくはＣ＞Ｄは無限個で、
Ｃ＞Ｄ＾１+εとなる固定の値のεは有限個（１？）ですね。
修正しておきます。ε=1＾-(x+n)とでも置けば別ですが。
(A,B,C) が有限の個数であるか無限であるかは次の通りです。
答えは無限です。
A,B,C が互いに素という事は、１を含まない最小の素数である２と３を
B,Cでべき乗数として使用すると組み合わせの解を見つけるのに有利です。
１をAとして使っても良いのですが、１のべき乗を使うと
1^1+2^3=3^3 や1^1+2^4*5=3^4 のように範囲が限定されます。
具体的に説明すると
A+2^x=3^y rad(A*2*3)=D 即ちA>1/6 未満となる
3^y-2^x＞C*1/6 の組み合わせを見つけるだけで良いです。
逆の 2^x-3^y ＞C*1/6 でも良いです。
ただし全ての組み合わせで単純なx:yの比率となるわけではありません。
5^1+3^3=2^5 C>D になりますが、5*59+3^6=2^10 のように2^がCで3^がBになるとC<D と
なってしまう場合があります。
* B,Cのradとなる素数が大きい値になると解を見つける個数に対して
不利になります。
B=5,C=7 とするとAは＜1/(5*7) 未満となる組み合わせを見つけなくては
なりません。
簡単な A+2^x=3^y でA+B=C rad(abc)=D C>D^1+ε の計算を行ってみます。
この式だけで解が無限に存在する事が証明できます。
x:y=5:4 A+2^5=3^4 C=81 A=7^2 D=rad(A,B,C)=42
x:y=10:8 A+2^10=3^8 C=6561 A=7^2*113 D^1=4746
x:y=15:12 A+2^15=3^12 C=531441 A=7^2*10177 C>D^1=427434
2*A>Bの時は次のような計算もできます。
A+2^19=3^12 C=531441 A=23*311 C<D^1=42918
x:y=25:20 A+2^25=3^20 A+33554432=3486784401 A=3453229969=7^2*70474081
C>D^1=2959911402
x:y=35:28 A+2^35=3^28 A+34359738368=22876792454961 A=22842432716593=7^3*239*1583*176023
C>D^1=2797032577542
x:y=40:32 A+2^40=3^32 A+1099511627776=1853020188851841
A=1851920677224065=5*7^2*17*37*41*113*2593841
C>D^1=1587360580477770
x:y=45:36 A+2^45=3^36 A+35184372088832=150094635296999121
A=150059450924910289=7^2*73*4951*10177*832591
C>D^1=128622386507065962
x:y=50:40 A+2^50=3^40 A+1125899906842624=12157665459056928801
A=12156539559150086177=7^2*11*113*2832131*70474081
C>D^1=10419891050700073866
x:y=70:56 A+2^70=3^56 A+1180591620717411303424=523347633027360537213511521
A=523346452435739819802208097=7^3*113*239*337*1583*176023*601642609
C>D^1=64083239073764059567617318
すなわち、x:y=5:4 である限りは、A=7^2*n としてAは出現するため、rad(7^2)として1/7以下になるため、
C=1/6*2*3>D=1/7*2*3 を満たすためC>D^1+εが成立するからです。
x:y=125:100 A+2^125=3^100
A=515377520689476035171343821832699446773136495569=7^2*10517908585499510921864159629238764219859
928481=
7^2*1601*70474081*93219901287408860159286578653580801
C>D=44175216059097945871829470442802809723411699616
x^1000でも結果は同じでABC予想の解は無限にあります。x:yの比率が同じならA=7^2*nの組み合わせになる
からです。
x:y=1000:800 A+2^1000=3^800
A+2^1000=3^800 .
C=4977414122938492192881464029729961679802517669640314331069754317413863193300588672960378941038
799444233797200629740876278809425638436874294137213623651683084623545115805694417048191856898335
577690331770093271154442020977681305435856437590481321498962517248672813060123683011804992094505
499691756946329466238029256908317387659245893361869285485179777099016847012698558309358412176001
A=4977414122938492192881464029729961679802517669640314331069754317413863193300588662245292869176
126234749546710029722770664761308583100799856633329920141171835262320183821906260089610580951606
402158863518221818297518880541696727861157862786546753724138286263251738455061311869927037912352
453216773364388198839261697742773441582182978790672807798637609438587015360074171472152744106625
=7^2*1015798800599692284261523271373461567306636259110268230830562105594665957816446665764345483
505331884642764634699943422584645165016959346909517006106151259558216800037514674746957063383867
674775950788473106493530105893988101373032889359752356480351864956380255456827563533034678987329
051521064647625385346701890142396484375833098567100137307714007675395630003134709014586153621246
25
C>D=42663549625187075938983977397685385826878722882631265694883608434975970228290759962102510307
223939154996114657397623748555096930712292570199714256458352901445105601575616339372196662122442
340589933115870472728264447547500257667381353109598972174778328167970729186757668387456517467820
163884715200266184561479385980652343784990139818205766923988322366616460131657778612618452092340
4
他の素数の組み合わせでも計算してみます。
A+5^3=2^7 x:y=3:7 A=3 3+125=128 D=3*5*2=30
A+5^6=2^14 x:y=6:14 759+15625=16384 A=759=3*11*23 3*11*23+5^6=2^14 C>D=7590
13+3^5=2^8 x:y=5:8
13+243=256 C>D=78^1
A+3^10=2^16 x:y=10:16
6487+59049=65536 A=13*499 C>D=38922^1
A+3^15=2^24 x:y=15:24
2428309+14348907=16777216 A=13*186793 C>D^1=14569854
A,B,Cが互いに素という条件がなければ、9^3+18^3=3^8 のように729+5832=6561 となってrad(A,B,C)=D
=3*2*3*3=54 でC>D^2 を満たすような数値(ビール予想、Beal conjecture) は存在しますが、
互いに素な素数のべき乗数でもべき乗数の比が自然数で同じならばC>Dが無限に成立する場合があるため、
ABC予想のA+B=C D=rad(A,B,C) のC>Dとなる自然数(A,B,C)の組み合わせは無限に存在します。
9/5
正しくはＣ＞Ｄは無限個で、
Ｃ＞Ｄ＾１+εとなる固定の値のεは有限個（１？）ですね。
修正しておきます。ε=1＾-(x+n)とでも置けば別ですが。
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