数学ノート

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0278.二次方程式の解の配置問題(最難パターン)

【問題】
aを実数の定数とするとき、xについての2次方程式
2x^2+4ax-3a^2+a+4=0
が0<x<2の範囲に少なくとも1つの実数解をもつようなaの値の範囲を求めなさい。

【解答例】
与えられた方程式の左辺を、
f(x)=2x^2+4ax-3a^2+a+4
とおく。
f(x)=0かつ0<x<2をみたすxが少なくとも1つ存在する必要十分条件は、
0<x<2におけるf(x)の値域に0が含まれることである。(∵y=f(x)のグラフは下に凸) …☆
まず、与えられた2次方程式の判別式をDとすると、D≧0でなければならない。
D/4=4a^2-2(-3a^2+a+4)
=10a^2-2a-8
であるから、
5a^2-a-4≧0
(5a+4)(a-1)≧0
a≦-4/5 , 1≦a
が必要条件となる。
(i) a≦-4/5のとき
ここで、
f(0)=-3a^2+a+4=-(3a-4)(a+1)
f(2)=-3a^2+9a+12=-3(a-4)(a+1)
であり、3a-4<0かつa-4<0に注意すると(∵a≦-4/5)
f(0)とf(2)は異符号になることはない。(すなわち、同符号になるか、どちらも0になる。)
このことから、もし、f(0)≦0とすると、f(2)≦0となるため不適(∵☆の条件をみたさなくなるため。)
よって、f(0)>0かつf(2)>0が求める条件である。
これを解いて、-1<a<4/3かつ-1<a<4
となり、前提条件のa≦-4/5とあわせると、
-1<a≦-4/5 …①
(ii) a≧1のとき
放物線y=f(x)の軸の方程式は、x=-aであるから、 …♪
いま、a≧1であるから、-a≦-1より、軸はx≦-1の範囲に存在する。
よって、f(x)=0が0<x<2の範囲で解を少なくとも1つもつならば、
f(0)<0かつf(2)>0でなければならない。
f(0)=-(3a-4)(a+1)
f(2)=-3(a-4)(a+1)
であるが、いま、a≧1であるから、a+1>0であることに注意すると、求める条件は、
3a-4>0かつa-4<0
となるから、
4/3<a<4 …② (これは、a≧1をみたす。)
以上、(i),(ii)より、求めるaの範囲は、
-1<a≦-4/5 , 4/3<a<4 …(答)

【コメント】
この解法でない解き方が一般的ですが、通常のやり方では場合分けがとても繁雑になります。
ちなみに、f(x)=0が0<x<2の範囲で、
・2つの異なる実数解をもつとき、-1<a<-4/5
・重解をもつとき、a=-4/5
・実数解を1つとき、4/3<a<4
となります。
♪の解説:放物線y=ax^2+2b'x+cの軸の方程式は、x=b'/aとなります。


2018年9月9日(ブログ開始から2820日目)、アクセス数が52000を超えました。

0277.実数解の範囲

【問題】
aを実数とし、xについての2次方程式
x^2+2ax+3a^2-2a-4=0
が実数解をもつとき、実数解のとりうる値の範囲を求めなさい。

【解答例】
与えられた方程式をaについて整理して、
3a^2+2(x-1)a+x^2-4=0 …①
このaについての2次方程式の判別式をDとすると、
D/4=(x-1)^2-3(x^2-4)
=-2x^2-x+13
これが0以上であれば、①は実数解をもち、aは実数となる。
-2x^2-2x+13≧0
⇔2x^3+2x-13≦0
⇔(-1-3√3)/2≦x≦(-1+3√3)/2 …(答)

【コメント】
与えられた元の方程式が実数解をもつようなaの範囲を求めるときと同じ手順で、
aとxが逆になっているだけです。

0276.融合問題(数Ⅱまで)

【問題】
xy+x+y=20 , xy(x+y)=91
をみたす虚数x,yに対し、
x^3+y^3
の値を求めなさい。

【解答例】
s=x+y , t=xy
とおいて、x,yを解にもつzについての二次方程式を考えると、
z^2+sz+t=0
となり、この判別式をDとすると、
D=s^2-4t
いま、zおよびx,yは虚数であるから、この判別式Dの値は負でなければならないため、
s^2-4t<0 …①
が成り立つ。また、もとの条件式をs,tで表すと、
s+t=20 , st=91
となる。解と係数の関係から、s,tを解にもつuについての二次方程式は、
u^2-20u+91=0
である。これを解いて、
u=7,13
∴(s,t)=(7,13),(13,7)
①より、(s,t)=(13,7)は不適であるから、
(s,t)=(7,13) …②
よって求める値は、
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)
=s^3-3st
=7^3-3*7*13
=70 …(答)

【コメント】
虚数の定義は、「実数でない複素数」です。
また、x,yの値は{7±(√3)i}/2ですが、このように対称式の性質を用いれば、
それぞれの値を計算せずに答えを求めることができます。


2018年5月22日(ブログ開始から2710日目)、アクセス数が50000を超えました。
2018年7月5日(ブログ開始から2754日目)、アクセス数が51000を超えました。

0275.同じものを含む順列の確率(DAISHA)

【問題】
透明な6枚の長方形の板に、それぞれA,A,D,H,I,Sの文字が書かれている。
そのすべてを横1列にランダムに並べるが、
このとき裏表はどちらになってもよいし、板の中心周りに180度回転していてもよいとする。
横1列に並べた板を並べた者の方向から見て「D,A,I,S,H,A」となっている確率を求めなさい。

【解法その1…順番に並べる】
板を1枚ずつ取り、左端から順に並べていく。
1番目にDの板を取って、「D」と見えるように並ぶ確率は、(1/6)・(2/4) (∵Dは上下対称)
2番目にAの板を取って、「A」と見えるように並ぶ確率は、(2/5)・(2/4) (∵Aの板は2枚あり、左右対称)
3番目にIの板を取って、「I」と見えるように並ぶ確率は、(1/4)・(4/4) (∵Iは左右対称かつ上下対称で点対称)
4番目にSの板を取って、「S」と見えるように並ぶ確率は、(1/3)・(2/4) (∵Sは点対称)
5番目にHの板を取って、「H」と見えるように並ぶ確率は、(1/2)・(4/4) (∵Hは左右対称かつ上下対称で点対称)
最後に残ったAの板を取り、「A」と見えるように並ぶ確率は、2/4
よって、これらをすべて掛け算して、
(1/6)・(1/2)・(2/5)・(1/2)・(1/4)・(1/3)・(1/2)・(1/2)・(1/2)
=1/5760 …(答)

【解法その2…一気に並べる】
板の種類や並べる向き・裏表を区別して考えて並べる場合の数は、
6!・(4^6) (通り)
であり、その中で「D,A,I,S,H,A」と見えるように並ぶ場合の数は、
・2枚ある「A」の入れ替えで2通り
・「D」「A」「S」「A」はそれぞれの対称性から2通り
・「I」「H」は4通り
以上のことを考慮して、求める確率は、
2・(4^2)・(2^4)/{6!・(4^6)}
=1/5760 …(答)

【コメント】
2018年に大阪教育大学で出題された問題です。(問題文は少し手直ししています。)
フォントによっては「S」を180度回転すると必ずしも同じ形にはなりませんが、
Sと読める(分かる)ため、気にしなくてよいでしょう。
試験時間や得点を失わないためにも、出題側の意図を汲むことは大切です。


2018年4月9日(ブログ開始から2667日目)、アクセス数が49000を超えました。
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