数学ノート

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0280.京大2017(文科)過去問

【問題】
100桁以下の自然数で、2以外の素因数をもたないものの個数を求めなさい。
但し、0.3010<log102<0.3011であることは用いてよい。

【解答例】
1は素因数をもたないため、「2以外の素因数をもたない」という条件をみたす。
nを自然数とすると、1以外の100桁以下の自然数のうち、
「2以外の素因数をもたない」という条件をみたすものは2^nとかけて、次の不等式をみたす。
1<2^n<10^100
各辺の常用対数とをって、
0<nlog102<100
両辺をlog102で割って、
0<n<100/log102 …①
ここで、0.3010<log102<0.3011であることを用いて、
100/0.3012<100/log102<100/0.3011
332.1…<100/log102<332.2…
よって、①をみたす自然数nの個数は332個あるため、
求める個数は333個 …(答)

0279.対数(小数第1位)の値

【問題】
log23の小数第1位の値を求めなさい。

【解答例】
まず、
3^5<2^8 (∵243<256)
であることから、2を底とする対数をとって、
5log23<8
∴log23<8/5(=1.6)
次に、
2^3<3^2 (∵8<9)
であることから、2を底とする対数をとって、
3<2log23
∴log23<3/2(=1.5)
以上より、
1.5<log23<1.6
が成り立つから、
log23の小数第1位の値は5 …(答)

【コメント】
2^mと3^nの値を、m,nを小さめの自然数で計算していき、
比が近いもの同士で挟むと、とても都合よく運びます。


2018年11月7日(ブログ開始から2879日目)、アクセス数が53000を超えました。

0278.二次方程式の解の配置問題(最難パターン)

【問題】
aを実数の定数とするとき、xについての2次方程式
2x^2+4ax-3a^2+a+4=0
が0<x<2の範囲に少なくとも1つの実数解をもつようなaの値の範囲を求めなさい。

【解答例】
与えられた方程式の左辺を、
f(x)=2x^2+4ax-3a^2+a+4
とおく。
f(x)=0かつ0<x<2をみたすxが少なくとも1つ存在する必要十分条件は、
0<x<2におけるf(x)の値域に0が含まれることである。(∵y=f(x)のグラフは下に凸) …☆
まず、与えられた2次方程式の判別式をDとすると、D≧0でなければならない。
D/4=4a^2-2(-3a^2+a+4)
=10a^2-2a-8
であるから、
5a^2-a-4≧0
(5a+4)(a-1)≧0
a≦-4/5 , 1≦a
が必要条件となる。
(i) a≦-4/5のとき
ここで、
f(0)=-3a^2+a+4=-(3a-4)(a+1)
f(2)=-3a^2+9a+12=-3(a-4)(a+1)
であり、3a-4<0かつa-4<0に注意すると(∵a≦-4/5)
f(0)とf(2)は異符号になることはない。(すなわち、同符号になるか、どちらも0になる。)
このことから、もし、f(0)≦0とすると、f(2)≦0となるため不適(∵☆の条件をみたさなくなるため。)
よって、f(0)>0かつf(2)>0が求める条件である。
これを解いて、-1<a<4/3かつ-1<a<4
となり、前提条件のa≦-4/5とあわせると、
-1<a≦-4/5 …①
(ii) a≧1のとき
放物線y=f(x)の軸の方程式は、x=-aであるから、 …♪
いま、a≧1であるから、-a≦-1より、軸はx≦-1の範囲に存在する。
よって、f(x)=0が0<x<2の範囲で解を少なくとも1つもつならば、
f(0)<0かつf(2)>0でなければならない。
f(0)=-(3a-4)(a+1)
f(2)=-3(a-4)(a+1)
であるが、いま、a≧1であるから、a+1>0であることに注意すると、求める条件は、
3a-4>0かつa-4<0
となるから、
4/3<a<4 …② (これは、a≧1をみたす。)
以上、(i),(ii)より、求めるaの範囲は、
-1<a≦-4/5 , 4/3<a<4 …(答)

【コメント】
この解法でない解き方が一般的ですが、通常のやり方では場合分けがとても繁雑になります。
ちなみに、f(x)=0が0<x<2の範囲で、
・2つの異なる実数解をもつとき、-1<a<-4/5
・重解をもつとき、a=-4/5
・実数解を1つとき、4/3<a<4
となります。
♪の解説:放物線y=ax^2+2b'x+cの軸の方程式は、x=b'/aとなります。


2018年9月9日(ブログ開始から2820日目)、アクセス数が52000を超えました。

0277.実数解の範囲

【問題】
aを実数とし、xについての2次方程式
x^2+2ax+3a^2-2a-4=0
が実数解をもつとき、実数解のとりうる値の範囲を求めなさい。

【解答例】
与えられた方程式をaについて整理して、
3a^2+2(x-1)a+x^2-4=0 …①
このaについての2次方程式の判別式をDとすると、
D/4=(x-1)^2-3(x^2-4)
=-2x^2-x+13
これが0以上であれば、①は実数解をもち、aは実数となる。
-2x^2-2x+13≧0
⇔2x^3+2x-13≦0
⇔(-1-3√3)/2≦x≦(-1+3√3)/2 …(答)

【コメント】
与えられた元の方程式が実数解をもつようなaの範囲を求めるときと同じ手順で、
aとxが逆になっているだけです。
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