0247.集合と論理

【問題】
集合A,Bにおいて、A∩B=B　であることは　A∪B=A　であるための　『　　　』
上の『　　　』にあてはまるものを、次の中①～④の中から選びなさい。
①必要条件であるが十分条件ではない。
②十分条件であるが必要条件ではない。
③必要十分条件である。
④必要条件でも十分条件でも無い。

【解答例】
まず、A∩B=Bのとき、A⊃Bである。このとき、A∪B=Aであるから、
A∩B=B　であることは　A∪B=A　であるための十分条件である。
また、A∪B=Aのときも、A⊃Bである。このとき、A∩B=Bであるので、
A∩B=B　であることは　A∪B=A　であるための必要条件である。
よって、必要十分条件であるから、
③　…(答)

【コメント】
結局、「A∩B=B⇔A⊃B⇔A∪B=A」なので、「A∩B=B⇔A∪B=A」となり、
必要十分条件であることが分かります。
高校数学では、この解答ようにベン図を思い浮かべて解答を進めて大丈夫です。
（大学数学では、きっちり論証しなければなりません。）


2015年10月11日（ブログ開始から1756日目）、アクセス数が33000を超えました。

0246.複素数

【問題】
zを虚数とするとき、
z+1/z
が整数となるようなzの値を求めなさい。

【解答例】
x,yを実数とし、
z=x+yi , y≠0
とおくと、
z+1/z
=x+yi+1/(x+yi)
=x+yi+(x-yi)/(x^2+y^2)
=x+x/(x^2+y^2)+{y-y/(x^2+y^2)}i　…①
これが整数となるから、
y-y/(x^2+y^2)=0　（∵整数であるから虚部は0）
⇔1-1/(x^2+y^2)=0　（∵y≠0）
⇔x^2+y^2=1　…②
また、②を①に代入して、
z+1/z=2x
よって、2xは整数であり、
②とy≠0から、-1＜x＜1であるから、-2＜2x＜2
∴2x=0,±1
(i)2x=0すなわちx=0のとき
②より、y=±1
よって、z=±i
(ii)2x=±1すなわちx=±1/2のとき
②より、y=±(√3)/2　（複号任意）
よって、z=(1±√3)/2,(-1±√3)/2
以上より、
z=±i,(1±√3)/2,(-1±√3)/2　…(答)


【コメント】
zが虚数で、z+1/zが実数のとき、|z|=1となります。
（参考：『0235.複素数の絶対値』におけるa=b=1のとき）


2015年8月9日（ブログ開始から1693日目）、アクセス数が32000を超えました。