【問題】
xを無理数とするとき、
x^2とx^3の少なくとも一方は無理数であることを示しなさい。

【解答例】
背理法により示す。
xは無理数で、x^2とx^3は有理数であると仮定する。
xは無理数であるからx≠0であるため、x^2≠0であることから、
x^3をx^2で割ることができる。
(x^3)/(x^2)=x
この左辺は仮定から有理数となるが、右辺は無理数であるため矛盾。
よって、x^2とx^3の少なくとも一方は無理数であることが示された。

【コメント】
P⇒Qを示すときに背理法を用いるときは、P⇒「Qでない」と仮定し、矛盾を導きます。
(本問では、「P:xは無理数、Q:x^2とx^3の少なくとも一方は無理数」です。)
また、「AとBの少なくとも一方がXに属す」の否定は、「AとBの両方がXに属さない」です。
そして、有理数を0でない有理数で割っても有理数のままです。