------先に結論------
結論:99%の人は
200回鏡をすれば成功確率23%~43%になる
900回鏡をすれば成功確率28%~38%になる
21000回鏡をすれば成功確率32%~34%になる

補足:90%の人は
80回鏡をすれば成功確率23%~43%になる
400回鏡をすれば成功確率28%~38%になる
8000回鏡をすれば成功確率32%~34%になる

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皆さん割れるでお馴染み、鏡の確率コーナーです
確率は収束するとよく言われていますが
これは大数の法則というものから来ています
収束と言っても数学的には様々あって一般に言われる大数の法則は"確率収束"の意味で収束します
鏡の場合でいえば、|成功回数/試行回数-1/3|>正の定数 となる確率
試行回数を増やすことで0に近づくということです
皆さんが恐らくお考えの 成功回数/試行回数が1/3に収束する ということではありません
ちなみにこの収束は概収束と呼ばれます
(今回の場合は実はこれも成り立ちますがこの収束速度は厳密には測れません。
ただ正確ではありませんが試行回数nが十分大きければ
成功確率と33%の自体の誤差も直接nで評価できてn^(-1/8)くらいでほぼ抑えられます
しかしn=2^16=65536としても0.25となり、つまり65536回しても8%から58%の間と言うガバガバぶり。これは、回数を大きくしても全部失敗したり全部成功したりする確率が0ではないためです。)


まあそんな難しい話はさておいて...
あまりに鏡が失敗すると、励ましの言葉としてこんなことをよく耳にします
"試行回数を増やせば収束するよ。"
ところが、どれくらいの"速さ"で収束するのかということを誰も教えてくれません
そこで今回、収束速度についてグラフを作ってみたのでみてください
(以前載せていたのはシミュレーションの動作ミスかと思いましたが
良い評価の近似を用いて理論的に計算したところどうやら挙動は正確だったようです)
rate
x軸は鏡の試行回数です
紫のy軸は成功回数/試行回数が23%~43%とならない確率
緑のy軸は成功回数/試行回数が28%~38%とならない確率
青のy軸は成功回数/試行回数が32%~34%とならない確率
例えば紫のラインで考えれば
100回も鏡をして成功確率が23%~43%の間でない確率は5%ということです。
次に緑のラインで考えれば
100回試行した段階で成功確率が29%~37%とならない確率が40%もあるということです。
収束の速度遅すぎますね。
最後の青ラインはすさまじく
100回試行したとしても、成功確率が32%~34%とならない確率は90%だといってます。
逆を言えば10人に一人は32%~34%になると。

成功確率が30%だと"収束したかな"と気持ち的に思えるので
誤差5%で収束の判断をするべきだと思いますが
100回試行でも30%の人は誤差5%に入れないということは驚きですね
900回試行で1%の人をのぞき28%~38%になるみたいです。
最後の最後に、
収束というからには"成功確率は誤差1%の32%~34%であるべきだ"という人のために
成功確率が32%~34%になる確率と試行回数との関係をグラフにしました
rate
21000回鏡をすれば99%の人が成功確率32%~34%になります

結論:
200回鏡をすれば99%の人は成功確率23%~43%になる
900回鏡をすれば99%の人は成功確率29%~37%になる
21000回鏡をすれば99%の人は成功確率32%~34%になる
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